行列 $A$ に対して、固有値 $\lambda$ を求めるために、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

## 問題 6.3

与えられた3つの行列の固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

## 解き方の手順

各行列について、以下の手順で固有値と固有ベクトルを求めます。

1. 固有方程式を立てる:

行列 $A$ に対して、固有値 $\lambda$ を求めるために、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

2. 固有値を求める:

特性方程式を解いて、固有値 $\lambda$ を求めます。

3. 固有ベクトルを求める:

各固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求めます。

### (1) $\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

1. 固有方程式:

$\det \begin{pmatrix} 4-\lambda & -5 \\ 2 & -3-\lambda \end{pmatrix} = (4-\lambda)(-3-\lambda) - (-5)(2) = \lambda^2 - \lambda -2 = 0$

2. 固有値:

$(\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0$ より、$\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -1$.

3. 固有ベクトル:

* $\lambda_1 = 2$:

$\begin{pmatrix} 4-2 & -5 \\ 2 & -3-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - 5y = 0$ より、$x = \frac{5}{2}y$。よって、$v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍).

* $\lambda_2 = -1$:

$\begin{pmatrix} 4-(-1) & -5 \\ 2 & -3-(-1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5x - 5y = 0$ より、$x = y$。よって、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍).

### (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

1. 固有方程式:

$\det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - (2)(2) = \lambda^2 + \lambda - 6 = 0$

2. 固有値:

$(\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$ より、$\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = 2$.

3. 固有ベクトル:

* $\lambda_1 = -3$:

$\begin{pmatrix} 1-(-3) & 2 \\ 2 & -2-(-3) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x + 2y = 0$ より、$y = -2x$。よって、$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍).

* $\lambda_2 = 2$:

$\begin{pmatrix} 1-2 & 2 \\ 2 & -2-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y = 0$ より、$x = 2y$。よって、$v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍).

### (3) $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

1. 固有方程式:

$\det \begin{pmatrix} \cos \theta - \lambda & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta - \lambda \end{pmatrix} = (\cos \theta - \lambda)^2 + \sin^2 \theta = \lambda^2 - 2\lambda \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = \lambda^2 - 2\lambda \cos \theta + 1 = 0$

2. 固有値:

$\lambda = \frac{2\cos \theta \pm \sqrt{4\cos^2 \theta - 4}}{2} = \cos \theta \pm \sqrt{\cos^2 \theta - 1} = \cos \theta \pm i\sin \theta = e^{\pm i\theta}$

3. 固有値は$\lambda_1 = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$と$\lambda_2 = e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$.

固有値は実数ではないため、実固有ベクトルは存在しません。

## 最終的な答え

(1) 固有値: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -1$. 固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(2) 固有値: $\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = 2$. 固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(3) 固有値: $\lambda_1 = \cos \theta + i\sin \theta$, $\lambda_2 = \cos \theta - i\sin \theta$. 実固有ベクトルは存在しない。