1個のサイコロを3回投げて3桁の数を作る。 (1) 作られた3桁の数が2の倍数となる確率、および5の倍数となる確率を求める。 (2) 作られた3桁の数が3の倍数となる確率を求める。 (3) 作られた3桁の数が3の倍数であったとき、それが9の倍数である条件付き確率を求める。

確率論・統計学確率条件付き確率倍数サイコロ場合の数
2025/7/21

1. 問題の内容

1個のサイコロを3回投げて3桁の数を作る。
(1) 作られた3桁の数が2の倍数となる確率、および5の倍数となる確率を求める。
(2) 作られた3桁の数が3の倍数となる確率を求める。
(3) 作られた3桁の数が3の倍数であったとき、それが9の倍数である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2の倍数になる確率
3桁の数が2の倍数になるのは、一の位が偶数(2,4,6)の時である。
百の位、十の位は何でも良いので、確率は 1/21/2
5の倍数になる確率
3桁の数が5の倍数になるのは、一の位が5の時である。
百の位、十の位は何でも良いので、確率は 1/61/6
(2) 3の倍数になる確率
3桁の数が3の倍数になるのは、3つの数字の和が3の倍数の時である。サイコロの目を3で割った余りは0, 1, 2のいずれか。それぞれの目が2つずつある。
3つのサイコロの目の和が3の倍数になる組み合わせは、(0,0,0), (0,1,2)とその並び替え, (1,1,1), (2,2,2)のいずれかである。
(0,0,0)はサイコロにはないので考えない。
(0,1,2)となる確率は 2/62/62/6=8/2162/6 * 2/6 * 2/6 = 8/216。この並び替えは3! = 6通りなので 68/216=48/2166 * 8/216 = 48/216
(1,1,1)となる確率は 2/62/62/6=8/2162/6 * 2/6 * 2/6 = 8/216
(2,2,2)となる確率は 2/62/62/6=8/2162/6 * 2/6 * 2/6 = 8/216
合計すると、(48+8+8)/216=64/216=8/27(48 + 8 + 8) / 216 = 64/216 = 8/27 となる。
3桁の数の作り方は、666=2166*6*6=216 通り。
3の倍数になるのは、和が3の倍数となる場合なので、(1,2,3),(1,2,6), ...など。
すべての目の組み合わせについて計算するより、余りの組み合わせで考える方が楽。
3つの数の余りの合計が3の倍数になればよい。
余りが(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2),(0,1,2)のとき、和は3の倍数になる。
それぞれの場合の確率は、
(0,0,0): 2/62/62/6=8/2162/6 * 2/6 * 2/6 = 8/216
(1,1,1): 2/62/62/6=8/2162/6 * 2/6 * 2/6 = 8/216
(2,2,2): 2/62/62/6=8/2162/6 * 2/6 * 2/6 = 8/216
(0,1,2): 2/62/62/63!=48/2162/6 * 2/6 * 2/6 * 3! = 48/216
合計 72/216=1/372/216 = 1/3
(3) 9の倍数になる条件付き確率
3の倍数になったという条件のもとで9の倍数になる確率。
3桁の数が3の倍数になるのは、1/31/3
3桁の数が9の倍数になるのは、各位の和が9の倍数になる場合。
各位の和が9の倍数になるのは、9, 18のとき。
和が9になる組み合わせは、(1,2,6)など。
和が18になる組み合わせは、(6,6,6)。
3の倍数になる確率は1/31/3。その中で9の倍数になる確率を求める。
3の倍数となる事象をA, 9の倍数となる事象をBとする。
P(B|A) = P(AかつB) / P(A)
P(A) = 1/3。P(AかつB) = 9の倍数となる確率。
9の倍数となるのは、各位の和が9,18の時。
9: (1,2,6)の並び替え6通り、(1,3,5)の並び替え6通り、(2,3,4)の並び替え6通り、(3,3,3)、(4,4,1)など。
和が9になるのは、(1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3)のとき。
6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25通り。25/216
和が18になるのは(6,6,6)の1通り。1/216
合計26/216 = 13/108
P(B|A) = (13/108) / (1/3) = 13/108 * 3 = 13/36

3. 最終的な答え

19: エ. 1/2
20: ウ. 1/6
21: ウ. 1/3
22: ウ. 13/36

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