円に内接する三角形ABCにおいて、直線ATは点Aで円Oに接している。$\angle BAT = 55^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

## 98 (1)の問題

1. 問題の内容

円に内接する三角形ABCにおいて、直線ATは点Aで円Oに接している。$\angle BAT = 55^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* 接弦定理より、$\angle BAT = \angle ACB$である。

* したがって、$\angle ACB = 55^\circ$である。

* $\angle x = \angle ACB$である。

3. 最終的な答え

$x = 55^\circ$

## 98 (2)の問題

1. 問題の内容

円に内接する三角形ABCにおいて、直線ATは点Aで円Oに接している。$\angle ABC = 100^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* $\angle BAC$は$\angle ABC$に対する円周角である。

* 弧ACに対する円周角の定理より、$\angle AOC = 2\angle ABC = 2 \times 100^\circ = 200^\circ$

* $\angle AOC$は中心角なので、その対角は $360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$となる。

* $\angle ABC$の円周角に対する中心角は$160^\circ$なので、$\angle BAC = \frac{1}{2} (360^\circ - 200^\circ) = \frac{1}{2}(160^\circ) = 80^\circ$

* 接弦定理より、$\angle x = \angle ABC$である。

* したがって、$\angle x = 100^\circ$である。

* $\angle ABC = 100^\circ$

* 三角形の内角の和は $180^\circ$なので、$\angle BAC = 180^\circ - (100^\circ + 100^\circ) = 20^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 20^\circ$

## 98 (3)の問題

1. 問題の内容

円に内接する三角形ABCにおいて、直線ATは点Aで円Oに接している。$\angle BAT = 60^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* 接弦定理より、$\angle BAT = \angle BCA$である。

* したがって、$\angle BCA = 60^\circ$である。

* $\angle x$は$\angle BAC$の中心角なので、$\angle BAC = \frac{1}{2}x$である。

* $\angle BCA=60^\circ$

* $\angle ABC = \angle BAT = 60^\circ$

* $\angle BAC = 180^\circ - 60^\circ -60^\circ = 60^\circ$

* よって、$\angle BAC=60^\circ$

* $x = 2 \times \angle BAC= 2 \times 60^\circ = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 120^\circ$

## 99の問題

1. 問題の内容

円Oが三角形ABCの各辺と点D, E, Fで接している。AF = 1, AE = 6, BF = 3のとき、辺BCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

* 円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しい。

* したがって、AF = AE = 1, BF = BD = 3, CE = CDである。

* AE = 6より、AC = AE + CE = 6 + CE

* AF = 1より、AC = AF + FC = 1 + FC

* したがって、FC = CE = 6-1 = 5

* CD=5

* BC = BD + CD = 3 + 5 = 8

3. 最終的な答え

BC = 8