母線の長さが9cm、底面の半径が3cmの円錐について、以下の4つの問いに答える。 (1) 円錐の高さを求める。 (2) 円錐の体積を求める。 (3) 側面の扇形の中心角の大きさを求める。 (4) 円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

母線の長さが9cm、底面の半径が3cmの円錐について、以下の4つの問いに答える。

(1) 円錐の高さを求める。

(2) 円錐の体積を求める。

(3) 側面の扇形の中心角の大きさを求める。

(4) 円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の高さの求め方

円錐の高さを$h$とすると、三平方の定理より、

$h^2 + 3^2 = 9^2$

$h^2 = 81 - 9$

$h^2 = 72$

$h = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

(2) 円錐の体積の求め方

円錐の体積$V$は、底面積 $\times$ 高さ $\times$ (1/3)で求められる。底面積は$\pi r^2$で、$r = 3$cmなので、$9\pi$ cm$^2$。

したがって、$V = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\pi$

(3) 側面の扇形の中心角の大きさの求め方

扇形の弧の長さは、底面の円周に等しい。底面の円周は$2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi$。

扇形の半径は9cmなので、扇形の円周は$2\pi \times 9 = 18\pi$。

扇形の中心角を$\theta$とすると、

$\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{6\pi}{18\pi} = \frac{1}{3}$

$\theta = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

(4) 円錐の表面積の求め方

円錐の表面積は、底面積と側面積の和である。

底面積は$\pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi$。

側面積は、扇形の面積$\pi r l \times \frac{\theta}{360^\circ} = \pi \times 9 \times 3= 27\pi$。または、$\pi \times 9^2 \times \frac{120^\circ}{360^\circ} = \pi \times 81 \times \frac{1}{3} = 27\pi$。

したがって、表面積は $9\pi + 27\pi = 36\pi$。

3. 最終的な答え

(1) 高さ：$6\sqrt{2}$ cm

(2) 体積：$18\sqrt{2}\pi$ cm$^3$

(3) 中心角：$120^\circ$

(4) 表面積：$36\pi$ cm$^2$