円の中に2つの弦ABとCDがあり、その交点をPとするとき、$\triangle PAC \sim \triangle PDB$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

円の中に2つの弦ABとCDがあり、その交点をPとするとき、$\triangle PAC \sim \triangle PDB$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

相似であることを証明するために、2組の角がそれぞれ等しいことを示します。

* $\angle PAC$ と $\angle PDB$ について：

円周角の定理より、弧BCに対する円周角は等しいので、

$\angle PAC = \angle BAC = \angle BDC = \angle PDB$

よって、

$\angle PAC = \angle PDB$

が成り立ちます。

* $\angle PCA$ と $\angle PBD$ について：

円周角の定理より、弧ADに対する円周角は等しいので、

$\angle PCA = \angle DCA = \angle DBA = \angle PBD$

よって、

$\angle PCA = \angle PBD$

が成り立ちます。

$\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ において、2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle PAC \sim \triangle PDB$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\triangle PAC \sim \triangle PDB$