底面が1辺4cmの正三角形、高さが9cmの正三角錐OABCがある。 (1) Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さを求める。 (2) 三角形ABCの面積を求める。 (3) 正三角錐OABCの体積を求める。

1. 問題の内容

底面が1辺4cmの正三角形、高さが9cmの正三角錐OABCがある。

(1) Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さを求める。

(2) 三角形ABCの面積を求める。

(3) 正三角錐OABCの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正三角形の高さAHを求める。

正三角形ABCにおいて、AHはBCを二等分する。三角形ABHは直角三角形になるので、ピタゴラスの定理を用いる。

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$4^2 = AH^2 + 2^2$

$16 = AH^2 + 4$

$AH^2 = 12$

$AH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

(2) 三角形ABCの面積を求める。

三角形の面積の公式は、$面積 = \frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ$ である。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AH$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3}$

$\triangle ABC = 4\sqrt{3}$

(3) 正三角錐OABCの体積を求める。

錐の体積の公式は、$体積 = \frac{1}{3} \times 底面積 \times 高さ$ である。

$V = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \times 高さ$

$V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times 9$

$V = 12\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}$ cm

(2) $4\sqrt{3}$ $cm^2$

(3) $12\sqrt{3}$ $cm^3$