縦の長さが $h$ m、横の長さが $2h$ m の長方形の土地の周囲に、幅 $a$ m の道がある。道の真ん中を通る線の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S=al$ となることを証明したい。空欄AとBに当てはまるものを選択する問題。

1. 問題の内容

縦の長さが $h$ m、横の長さが $2h$ m の長方形の土地の周囲に、幅 $a$ m の道がある。道の真ん中を通る線の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S=al$ となることを証明したい。空欄AとBに当てはまるものを選択する問題。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

外側の長方形の縦の長さは $h+2a$、横の長さは $2h+2a$ である。

よって外側の長方形の面積は $(h+2a)(2h+2a) = 2h^2 + 2ah + 4ah + 4a^2 = 2h^2 + 6ah + 4a^2$。

内側の長方形の面積は $2h^2$。

したがって、道の面積 $S$ は

$S = (2h^2 + 6ah + 4a^2) - 2h^2 = 6ah + 4a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求める。

長方形の縦の長さは $h+a$、横の長さは $2h+a$ である。

よって、

$l = 2(h+a) + 2(2h+a) = 2h + 2a + 4h + 2a = 6h + 4a$

$al = a(6h + 4a) = 6ah + 4a^2$

これは$S$と一致する。

3. 最終的な答え

A = $6ah + 4a^2$

B = $6h + 4a$

よって、選択肢は存在しないため、解答不能。