図の円において、指定された角 $x$ の大きさを求める問題です。ただし、Oは円の中心です。

1. 問題の内容

図の円において、指定された角 $x$ の大きさを求める問題です。ただし、Oは円の中心です。

2. 解き方の手順

(1)

円周角の定理より、弧BCに対する円周角は等しいので、

$\angle BAC = \angle BDC$

$\angle BAC = 64^\circ$ なので、$\angle BDC = x = 64^\circ$

(2)

円周角の定理より、$\angle AOC = 2 \angle ABC$

$\angle ABC = 59^\circ$ なので、$\angle AOC = 2 \times 59^\circ = 118^\circ$

三角形AOCは二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - 118^\circ}{2} = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$

したがって、$x = \angle OCA = 31^\circ$

(3)

円周角の定理より、$\angle BOC = 2 \angle BAC$

$\angle BOC$ は中心角で、問題文より中心角が$250^\circ$ の方が与えられているため、残りの中心角は $360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$

よって、$\angle BOC = 110^\circ$

したがって、$x = \angle BAC = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

(4)

円周角の定理より、$\angle BOC = 2 \angle BDC$

$\angle BDC = x$ なので、$\angle BOC = 2x$

円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$

$\angle CBD = 37^\circ$ なので、$\angle CAD = 37^\circ$

四角形ABCDにおいて、内角の和は $360^\circ$ であるので、$\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^\circ$

円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$ であるので、$\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ$

$\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle CBD + \angle CAD = 37^\circ + x = 180^\circ$

四角形ABCDは円に内接するから、対角の和は180°である。

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$37^\circ + \angle D = 180^\circ$

$\angle D = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$

四角形ABCDは円に内接するから、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle ABC = 37^\circ$

$\angle ADC = x$

よって、$\angle ABC + \angle ADC = x + \angle ABC$ は180度にならない。

別の方法として、

$\angle ACB = \angle ADB = x$

$\angle BAC = \angle BDC = 37^\circ$

三角形の内角の和は$180^\circ$ なので、

$\angle CAB + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle CAD + \angle ADB + \angle DBC = 180^\circ$

対角の和が$180^\circ$ なので、$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle ABC = 37^\circ$ より、$\angle ADC = x = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $x = 64^\circ$

(2) $x = 31^\circ$

(3) $x = 55^\circ$

(4) $x = 143^\circ$