兄が自転車で家から2km離れた図書館へ行き、同じ速さで家に戻る。弟は、兄が出発してから15分後に時速4kmで歩いて図書館へ向かう。兄の移動の様子を表すグラフが与えられている。 (1) 兄の自転車の時速を求める。 (2) 兄と弟がすれ違うのは、家から何kmの地点か求める。

1. 問題の内容

兄が自転車で家から2km離れた図書館へ行き、同じ速さで家に戻る。弟は、兄が出発してから15分後に時速4kmで歩いて図書館へ向かう。兄の移動の様子を表すグラフが与えられている。

(1) 兄の自転車の時速を求める。

(2) 兄と弟がすれ違うのは、家から何kmの地点か求める。

2. 解き方の手順

(1)

グラフから、兄は10分で2km進んでいることがわかる。

時速を求めるので、1時間あたりに進む距離を計算する。

1時間は60分なので、兄は60分で $2 \times (60 / 10) = 2 \times 6 = 12$ km進む。

したがって、兄の自転車の時速は12kmである。

(2)

兄が家を出発してから$x$分後の家からの距離を$y$kmとする。

弟が出発するのは兄が出発してから15分後なので、弟が出発してからの時間（兄が出発してからの時間）を$x$とすると、弟は時速4kmで歩くので、$x$分後の家からの距離は$y = \frac{4}{60} (x-15) = \frac{1}{15} (x-15)$ kmと表せる。

兄が図書館から家に戻る時のグラフの式を求める。

兄は20分から30分にかけて家に戻る。20分のとき2kmの地点にいて、30分のとき0kmの地点にいる。

傾きは $\frac{0-2}{30-20} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

したがって、兄が図書館から家に戻る時のグラフの式は、$y = -\frac{1}{5}(x-20) + 2 = -\frac{1}{5}x + 4 + 2 = -\frac{1}{5}x + 6$

兄と弟がすれ違う地点は、兄と弟のグラフが交わるところなので、

$-\frac{1}{5}x + 6 = \frac{1}{15}(x-15)$

$-\frac{1}{5}x + 6 = \frac{1}{15}x - 1$

両辺を15倍すると、

$-3x + 90 = x - 15$

$4x = 105$

$x = \frac{105}{4} = 26.25$

すれ違うのは、兄が出発してから26.25分後。

すれ違う地点は、家から$-\frac{1}{5} \times 26.25 + 6 = -5.25 + 6 = 0.75$ km地点。

3. 最終的な答え

(1) 兄の自転車の時速: 12km/時

(2) 兄と弟がすれ違う地点: 家から0.75km