画像に写っている複数の数学の問題を解く必要があります。これらの問題は2次方程式の解法、解の公式、解と係数の関係に関わるものです。

1. 問題の内容

画像に写っている複数の数学の問題を解く必要があります。これらの問題は2次方程式の解法、解の公式、解と係数の関係に関わるものです。

2. 解き方の手順

2.2 2次方程式の解法

1. $x^2 - 5x + 6 = 0$

因数分解すると、$(x-2)(x-3) = 0$

よって、$x = 2, 3$

2. $2x^2 + x - 3 = 0$

因数分解すると、$(2x+3)(x-1) = 0$

よって、$x = -\frac{3}{2}, 1$

3. $x^2 = 4x$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

よって、$x = 0, 4$

4. $3x^2 - 9 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

よって、$x = \pm\sqrt{3}$

5. $x^2 + 2x + 5 = 0$

解の公式を使うと、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

実数解はないので、「なし」

3.2 2次方程式の解の公式

1. $x^2 - 6x + 8 = 0$

解の公式を使うと、$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} = 3 \pm 1$

よって、$x = 4, 2$

2. $2x^2 + 3x - 2 = 0$

解の公式を使うと、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

よって、$x = \frac{1}{2}, -2$

3. $5x^2 - x - 1 = 0$

解の公式を使うと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(5)(-1)}}{2(5)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{10}$

4. $x^2 + 4x + 5 = 0$

解の公式を使うと、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$

5. 一般形 $ax^2 + bx + c = 0$

解の公式は、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

4. 解と係数の関係

1. $x^2 - sx + p = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = s$

$\alpha \beta = p$

2. $\alpha, \beta$ が $x^2 - 4x + 3 = 0$ の解であるとき、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = 3$

3. 解が $1, -3$ となる二次方程式

$(x - 1)(x + 3) = 0$

$x^2 + 3x - x - 3 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

4. 解の積が $5$、和が $2$ である二次方程式

解と係数の関係より、$x^2 - (\text{和})x + (\text{積}) = 0$

$x^2 - 2x + 5 = 0$

5. $x^2 - (k+1)x + k = 0$ が実数解をもつための $k$ の範囲

判別式 $D = b^2 - 4ac \geq 0$ であればよい。

$D = (-(k+1))^2 - 4(1)(k) = (k+1)^2 - 4k = k^2 + 2k + 1 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \geq 0$

$(k-1)^2 \geq 0$ は常に成り立つので、$k$ はすべての実数。

3. 最終的な答え

2.2

1. $x = 2, 3$

2. $x = -\frac{3}{2}, 1$

3. $x = 0, 4$

4. $x = \pm\sqrt{3}$

5. なし

3.2

1. $x = 4, 2$

2. $x = \frac{1}{2}, -2$

3. $x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{10}$

4. $x = -2 \pm i$

5. $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

4.

1. $\alpha + \beta = s$, $\alpha \beta = p$

2. $\alpha + \beta = 4$, $\alpha \beta = 3$

3. $x^2 + 2x - 3 = 0$

4. $x^2 - 2x + 5 = 0$

5. $k$ はすべての実数