p=50−5xをq=50p+500に代入する。 q=50(50−5x)+500=2500−10x+500=3000−10x r=px−q=(50−5x)x−(3000−10x)=50x−5x2−3000+10x=−51x2+60x−3000 (3) 企業の得る利益が最大となるのは、Aの1本あたりの価格がいくらのときか。 r=−51x2+60x−3000を平方完成する。 r=−51(x2−300x)−3000=−51(x2−300x+22500−22500)−3000=−51(x−150)2+4500−3000=−51(x−150)2+1500 x=150のとき、rは最大値1500をとる。 50≤x<250を満たすので、x=150。 (4) Aの生産量に限りがあり、1年間で15万本以下しか生産できないとき、企業の得る最大の利益はいくらか。 p=50−5x であり、p≤15 という制約がある。 50−5x≤15 35≤5x xの範囲は175≤x<250 r=−51(x−150)2+1500 x=175のとき、r=−51(175−150)2+1500=−51(25)2+1500=−5625+1500=−125+1500=1375 (5) 50≤x<250のときの企業の得る利益についての記述として、正しいものを選ぶ。 0: Aの販売本数が最大になるように1本あたりの価格を設定することで、企業の得る利益は最大となる。
販売本数が最大となるのはx=0の時だが、50≤x<250という条件があるので、この条件に当てはまらない。また、利益が最大になるのはx=150の時であり、販売本数が最大となる時と一致しない。 1: Aの1本あたりの価格を変えても、企業の得る利益が負の値となることはない。
r=−51x2+60x−3000 x=50のとき、r=−51(50)2+60(50)−3000=−500+3000−3000=−500<0 2: 企業の得る利益を1000万円以上とするためには、Aの1本あたりの価格を100円以上にすることが必要である。
r=1000のとき、1000=−51x2+60x−3000 0=−51x2+60x−4000 0=−x2+300x−20000 x2−300x+20000=0 解の公式より、x=2300±3002−4(20000)=2300±90000−80000=2300±10000=2300±100 x=200,100 Aの1本あたりの価格が100円以上であれば、企業の得る利益を1000万円以上とすることができる。
3: Aを生産、販売するためにかかる費用の総額が、従来の20%である(50p+500)×0.2万円だけ増加すると、得る利益が最大となるようなAの1本あたりの価格は減少する。 費用が0.2qだけ増加するので、新しい利益r′はr′=px−(q+0.2q)=px−1.2q=px−1.2(50p+500)=px−60p−600=(x−60)p−600=(x−60)(50−5x)−600=50x−x2/5−3000+60x/5−600=−5x2+38x−3600=−51(x2−190x)−3600=−51(x2−190x+9025)+1805−3600=−51(x−95)2−1795. このとき、x=95で最大となるので、従来のx=150から減少している。