$a$ を実数の定数とする。複素数 $z$ が $z\bar{z} - ai\bar{z} + aiz = 1$ を満たしながら動くとき、複素数平面上で $z$ の表す点はどのような図形を描くか。ただし、$\bar{z}$ は $z$ に共役な複素数を表す。

代数学複素数複素数平面共役複素数
2025/7/21

1. 問題の内容

aa を実数の定数とする。複素数 zzzzˉaizˉ+aiz=1z\bar{z} - ai\bar{z} + aiz = 1 を満たしながら動くとき、複素数平面上で zz の表す点はどのような図形を描くか。ただし、zˉ\bar{z}zz に共役な複素数を表す。

2. 解き方の手順

まず、z=x+yiz = x + yi (x,yx, y は実数) とおくと、zˉ=xyi\bar{z} = x - yi となる。
これを与えられた式に代入すると、
(x+yi)(xyi)ai(xyi)+ai(x+yi)=1(x+yi)(x-yi) - ai(x-yi) + ai(x+yi) = 1
x2+y2aixay+aix+ay=1x^2 + y^2 - aix - ay + aix + ay = 1
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
したがって、zz の表す点は原点を中心とする半径 11 の円を描く。

3. 最終的な答え

原点を中心とする半径1の円

「代数学」の関連問題

ある通信会社の携帯電話の料金プランに関する問題です。花子さんと太郎さんの料金プランが異なり、通話時間$x$分によって料金が変わります。 (1) 花子さんの料金が7000円となるような通話時間$x$を求...

一次方程式絶対値不等式料金プラン
2025/7/25

関数 $y = ax + b$ について、以下の2つの条件が与えられています。 (2) $0 \le x \le 2$ のとき、$-3 \le y \le 3$ (3) $2 < x \le 4$ の...

一次関数不等式連立方程式範囲
2025/7/25

画像には、複素数の相等、複素数の計算、平方根の計算の問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。 1. 実数 $x$, $y$ の値を求める問題 (2問)

複素数複素数の計算複素数の相等平方根
2025/7/25

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$の小数部分を$b$とするとき、$b$の値を求めよ。また、$a^2 - b^...

有理化平方根不等式整数部分小数部分
2025/7/25

与えられた数学の問題は以下の通りです。 (3) $\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2}$ (4) $\frac{3}{x+1} + \frac{6}{x-2}$ (5)...

分数式式の計算因数分解有理式
2025/7/25

第2項が6で、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求める。

等比数列数列方程式
2025/7/25

次の式を計算します。 $\frac{x^2+3x}{x^2+6x+8} \times \frac{x^2-x-6}{x^2-3x}$

式の計算分数式因数分解約分通分
2025/7/25

次の等比数列の和を求めます。 (1) 初項3, 公比-2, 項数5 (2) 初項6, 公比1, 項数13

等比数列数列公式
2025/7/25

与えられた数式について、展開、因数分解、二項定理を利用した展開、特定の項の係数を求める問題です。

展開因数分解二項定理多項式の展開係数
2025/7/25

画像には3つの問題があります。 (1) 約分: $\frac{9a^2b^2c}{6a^2bc^2}$ (2) 因数分解と約分: $\frac{6x^2-5x-4}{9x^2-16}$ (3) 分数式...

分数式約分因数分解代数計算
2025/7/25