直線 $l: y = 2x - 1$ と直線 $m: y = -\frac{2}{3}x + 2$ が与えられています。直線 $l$ と $m$ の交点を $A$、直線 $l$ と $x$ 軸の交点を $B$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $C$ とします。 (1) 点 $A$ の座標を求めます。 (2) 三角形 $ABC$ の面積を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x - 1$ と直線 $m: y = -\frac{2}{3}x + 2$ が与えられています。直線 $l$ と $m$ の交点を $A$、直線 $l$ と $x$ 軸の交点を $B$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $C$ とします。

(1) 点 $A$ の座標を求めます。

(2) 三角形 $ABC$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A$ は直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、$l$ と $m$ の式を連立させて解きます。

$2x - 1 = -\frac{2}{3}x + 2$

両辺に 3 を掛けて

$6x - 3 = -2x + 6$

$8x = 9$

$x = \frac{9}{8}$

これを $y = 2x - 1$ に代入すると

$y = 2(\frac{9}{8}) - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

よって、点 $A$ の座標は $(\frac{9}{8}, \frac{5}{4})$ です。

(2) 点 $B$ は直線 $l: y = 2x - 1$ と $x$ 軸 ($y = 0$) の交点なので、$2x - 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{1}{2}$。したがって、点 $B$ の座標は $(\frac{1}{2}, 0)$ です。

点 $C$ は直線 $m: y = -\frac{2}{3}x + 2$ と $x$ 軸 ($y = 0$) の交点なので、$-\frac{2}{3}x + 2 = 0$ を解くと、$\frac{2}{3}x = 2$ より、$x = 3$。したがって、点 $C$ の座標は $(3, 0)$ です。

三角形 $ABC$ の底辺 $BC$ の長さは、$3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ です。

三角形 $ABC$ の高さは点 $A$ の $y$ 座標に等しく、$\frac{5}{4}$ です。

したがって、三角形 $ABC$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{25}{16}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 点 $A$ の座標は $(\frac{9}{8}, \frac{5}{4})$ です。

(2) 三角形 $ABC$ の面積は $\frac{25}{16}$ です。