(1) 複素数平面において、等式 $|3z - 4i| = 2|z - 3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すかを答える問題です。 (2) (1)の等式を満たす複素数 $z$ に対して、 $|z + \frac{1}{2} + 2i|$ の最大値と最小値を求め、そのときの $z$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面において、等式 $|3z - 4i| = 2|z - 3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すかを答える問題です。

(2) (1)の等式を満たす複素数 $z$ に対して、 $|z + \frac{1}{2} + 2i|$ の最大値と最小値を求め、そのときの $z$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた等式を変形して、複素数平面における点の軌跡を求めます。

まず、与えられた等式を整理します。

$|3z - 4i| = 2|z - 3i|$

$|3(z - \frac{4}{3}i)| = 2|z - 3i|$

$3|z - \frac{4}{3}i| = 2|z - 3i|$

両辺を2乗すると

$9|z - \frac{4}{3}i|^2 = 4|z - 3i|^2$

ここで、$z = x + yi$ ($x$, $y$ は実数) とすると、

$9(x^2 + (y - \frac{4}{3})^2) = 4(x^2 + (y - 3)^2)$

$9x^2 + 9(y^2 - \frac{8}{3}y + \frac{16}{9}) = 4x^2 + 4(y^2 - 6y + 9)$

$9x^2 + 9y^2 - 24y + 16 = 4x^2 + 4y^2 - 24y + 36$

$5x^2 + 5y^2 = 20$

$x^2 + y^2 = 4$

これは中心が原点 $0$、半径 $2$ の円を表します。

(2) $|z + \frac{1}{2} + 2i|$ は、点 $z$ と点 $-\frac{1}{2} - 2i$ の距離を表します。$z$ は中心が原点、半径 $2$ の円周上を動くので、この円周上の点と $-\frac{1}{2} - 2i$ の距離の最大値、最小値を求めます。

$-\frac{1}{2} - 2i$ を表す点を $A$ とし、原点を $O$ とすると、 $|OA| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ となります。

円の中心 $O$ と点 $A$ の距離が $\frac{\sqrt{17}}{2}$ であり、円の半径が $2$ なので、

最大値は $2 + \frac{\sqrt{17}}{2} = \frac{4 + \sqrt{17}}{2}$

最小値は $2 - \frac{\sqrt{17}}{2} = \frac{4 - \sqrt{17}}{2}$

$z$ が最大値をとるとき、点 $z$ は点 $A$ を通り原点 $O$ を中心とする直線上にある。つまり、$z = k(-\frac{1}{2} - 2i)$ ($k$ は実数)と表され、$|z| = 2$ を満たす。

$|z| = |k(-\frac{1}{2} - 2i)| = |k| \cdot \frac{\sqrt{17}}{2} = 2$

$|k| = \frac{4}{\sqrt{17}}$

最大値を取る時、$k > 0$ であるから、$k = \frac{4}{\sqrt{17}}$. よって、$z = \frac{4}{\sqrt{17}}(-\frac{1}{2} - 2i) = -\frac{2}{\sqrt{17}} - \frac{8}{\sqrt{17}}i = -\frac{2\sqrt{17}}{17} - \frac{8\sqrt{17}}{17}i$

$z$ が最小値をとるとき、$z = k(-\frac{1}{2} - 2i)$ ($k$ は実数)と表され、$|z| = 2$ を満たす。

$|k| = \frac{4}{\sqrt{17}}$

最小値を取る時、$k < 0$ であるから、$k = -\frac{4}{\sqrt{17}}$. よって、$z = -\frac{4}{\sqrt{17}}(-\frac{1}{2} - 2i) = \frac{2}{\sqrt{17}} + \frac{8}{\sqrt{17}}i = \frac{2\sqrt{17}}{17} + \frac{8\sqrt{17}}{17}i$

3. 最終的な答え

(1) 中心が原点、半径2の円

(2) 最大値: $\frac{4 + \sqrt{17}}{2}$, そのときの $z$: $-\frac{2\sqrt{17}}{17} - \frac{8\sqrt{17}}{17}i$

最小値: $\frac{4 - \sqrt{17}}{2}$, そのときの $z$: $\frac{2\sqrt{17}}{17} + \frac{8\sqrt{17}}{17}i$