整数 $m, n$ があり、$m < n$ である。$n$ と $m$ の差は $2$ であり、$n$ と $m$ の積は $48$ である。この条件を整式で表す。

## 問題の解答

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3. (1)

1. 問題の内容

整数 $m, n$ があり、$m < n$ である。$n$ と $m$ の差は $2$ であり、$n$ と $m$ の積は $48$ である。この条件を整式で表す。

2. 解き方の手順

条件より、以下の2つの式が成り立つ。

* $n - m = 2$

* $mn = 48$

この2つの式を連立方程式として扱う。

一つ目の式から、$n = m + 2$ となる。これを二つ目の式に代入すると、

$m(m + 2) = 48$

$m^2 + 2m = 48$

$m^2 + 2m - 48 = 0$

3. 最終的な答え

$n - m = 2$

$mn = 48$

または

$m^2 + 2m - 48 = 0$

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3. (2)

1. 問題の内容

半径 $a$ の円の面積 $S$ を、$a$ を用いて表す。ただし、円周率は $\pi$ とする。

2. 解き方の手順

円の面積の公式は、$S = \pi r^2$ である。

ここで、$r$ は円の半径である。

問題では、半径が $a$ なので、$r = a$ を代入する。

3. 最終的な答え

$S = \pi a^2$

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3. (3)

1. 問題の内容

3の倍数同士の和を $X$ として、$X$ を適当な文字を使って表現する。

2. 解き方の手順

3の倍数は $3k$ （$k$ は整数）と表せる。

ここでは、$n$ 個の3の倍数の和を考える。

$X = 3k_1 + 3k_2 + ... + 3k_n = 3(k_1 + k_2 + ... + k_n)$

ここで、$k_1 + k_2 + ... + k_n = K$ （$K$ は整数）とおくと、

$X = 3K$

3. 最終的な答え

$X = 3K$ （$K$ は整数）

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4. (1)

1. 問題の内容

$(x-a)(x-b)(x-c)$ を展開して、$x$ について降べきの順に整理する。

2. 解き方の手順

まずは、 $(x-a)(x-b)$ を展開する。

$(x-a)(x-b) = x^2 - ax - bx + ab = x^2 - (a+b)x + ab$

次に、 $(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c)$ を展開する。

$(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c) = x^3 - (a+b)x^2 + abx - cx^2 + (a+b)cx - abc$

整理すると、

$x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$

3. 最終的な答え

$x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$

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4. (2)

1. 問題の内容

$(3x+2y)(x-y)$ を展開して、$x$ について降べきの順に整理する。

2. 解き方の手順

$(3x+2y)(x-y) = 3x^2 - 3xy + 2xy - 2y^2 = 3x^2 - xy - 2y^2$

3. 最終的な答え

$3x^2 - xy - 2y^2$

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4. (3)

1. 問題の内容

$(-x^2+2y)^2$ を展開して、$x$ について降べきの順に整理する。

2. 解き方の手順

$(-x^2+2y)^2 = (-x^2+2y)(-x^2+2y) = x^4 - 2x^2(2y) + (2y)^2 = x^4 - 4x^2y + 4y^2$

3. 最終的な答え

$x^4 - 4yx^2 + 4y^2$

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5. (1)

1. 問題の内容

$6(x+y)^2 - (x+y) - 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

$A = x+y$ と置くと、

$6A^2 - A - 2$

これを因数分解する。

$6A^2 - A - 2 = (2A+1)(3A-2)$

$A = x+y$ を戻すと、

$(2(x+y)+1)(3(x+y)-2) = (2x+2y+1)(3x+3y-2)$

3. 最終的な答え

$(2x+2y+1)(3x+3y-2)$

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5. (2)

1. 問題の内容

$(x-y)(x-y-4) + 4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

$A = x-y$ と置くと、

$A(A-4) + 4 = A^2 - 4A + 4 = (A-2)^2$

$A = x-y$ を戻すと、

$(x-y-2)^2$

3. 最終的な答え

$(x-y-2)^2$

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5. (3)

1. 問題の内容

$(3x+3y+4)(x+y-2) + 7$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

$A = x+y$ と置くと、

$(3A+4)(A-2) + 7 = 3A^2 - 6A + 4A - 8 + 7 = 3A^2 - 2A - 1$

これを因数分解する。

$3A^2 - 2A - 1 = (3A+1)(A-1)$

$A = x+y$ を戻すと、

$(3(x+y)+1)(x+y-1) = (3x+3y+1)(x+y-1)$

3. 最終的な答え

$(3x+3y+1)(x+y-1)$