$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{3}$のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\sin\theta + \cos\theta$ (2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{3}$のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\sin\theta + \cos\theta$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \cos\theta$ の値を求める。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2 \times \frac{1}{3} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

$\sin\theta + \cos\theta = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

第3象限では、$\sin\theta < 0$ かつ $\cos\theta < 0$ なので、$\sin\theta + \cos\theta < 0$ である。

よって、$\sin\theta + \cos\theta = -\frac{\sqrt{15}}{3}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求める。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta + \cos\theta = -\frac{\sqrt{15}}{3}$ と $\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (-\frac{\sqrt{15}}{3})(1 - \frac{1}{3}) = (-\frac{\sqrt{15}}{3})(\frac{2}{3}) = -\frac{2\sqrt{15}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta + \cos\theta = -\frac{\sqrt{15}}{3}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = -\frac{2\sqrt{15}}{9}$