線形変換 $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ が $T(\vec{x}) = A\vec{x}$ で定義されています。ここで、行列 $A$ は $ A = \begin{bmatrix} -2 & 9 & 8 \\ 8 & 2 & -8 \end{bmatrix} $ です。ベクトル $\vec{u} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ の $T$ による像 $T(\vec{u})$ を求めます。 また、一般のベクトル $\vec{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ の $T$ による像 $T(\vec{v})$ を求めます。

1. 問題の内容

線形変換 $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ が $T(\vec{x}) = A\vec{x}$ で定義されています。ここで、行列 $A$ は

$A = \begin{bmatrix} -2 & 9 & 8 \\ 8 & 2 & -8 \end{bmatrix}$

です。ベクトル $\vec{u} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ の $T$ による像 $T(\vec{u})$ を求めます。

また、一般のベクトル $\vec{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ の $T$ による像 $T(\vec{v})$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{u}$ の像 $T(\vec{u})$ を計算します。これは $A\vec{u}$ を計算することに相当します。

$T(\vec{u}) = A\vec{u} = \begin{bmatrix} -2 & 9 & 8 \\ 8 & 2 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-2)(5) + (9)(4) + (8)(5) \\ (8)(5) + (2)(4) + (-8)(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 + 36 + 40 \\ 40 + 8 - 40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 66 \\ 8 \end{bmatrix}$

次に、$\vec{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ の像 $T(\vec{v})$ を計算します。

$T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{bmatrix} -2 & 9 & 8 \\ 8 & 2 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2a + 9b + 8c \\ 8a + 2b - 8c \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$T(\vec{u}) = \begin{bmatrix} 66 \\ 8 \end{bmatrix}$

$T(\vec{v}) = \begin{bmatrix} -2a + 9b + 8c \\ 8a + 2b - 8c \end{bmatrix}$