線形変換 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が与えられており、 $T\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$, $T\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{bmatrix}$, $T\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix}$ である。このとき、$T\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix}$ を求めよ。

1. 問題の内容

線形変換 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が与えられており、

$T\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$,

$T\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{bmatrix}$,

$T\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix}$

である。このとき、$T\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix}$ を標準基底 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ の線形結合で表す。

$\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ を満たす $a, b, c$ を求める。

これは $a = 1, b = -4, c = -3$ に対応する。

したがって、

$\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} -4\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} -3\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

である。

$T$ は線形変換なので、

$T\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix} = 1T\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} -4T\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} -3T\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$= 1\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} -4\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{bmatrix} -3\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ -9 \\ 9 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4+8+12 \\ 1+4-9 \\ -1+12+9 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 24 \\ -4 \\ 20 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$T\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 \\ -4 \\ 20 \end{bmatrix}$