初項1, 公比5の等比数列 $\{a_n\}$ がある。この数列の初項から第 $n$ 項までの和が $10^{100}$ 以上となるような最小の $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

初項1, 公比5の等比数列 $\{a_n\}$ がある。この数列の初項から第 $n$ 項までの和が $10^{100}$ 以上となるような最小の $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使う。

$a_n = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

$S_n \geq 10^{100}$ より、

$\frac{5^n - 1}{4} \geq 10^{100}$

$5^n - 1 \geq 4 \cdot 10^{100}$

$5^n$ は非常に大きいので、1を無視すると近似的に

$5^n \geq 4 \cdot 10^{100}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 5^n \geq \log_{10} (4 \cdot 10^{100})$

$n \log_{10} 5 \geq \log_{10} 4 + \log_{10} 10^{100}$

$n \log_{10} 5 \geq \log_{10} 2^2 + 100$

$n \log_{10} 5 \geq 2 \log_{10} 2 + 100$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$ なので、

$0.6990n \geq 2(0.3010) + 100$

$0.6990n \geq 0.6020 + 100$

$0.6990n \geq 100.6020$

$n \geq \frac{100.6020}{0.6990} \approx 143.92$

したがって、最小の $n$ は144である。

3. 最終的な答え

144