複素数 $z$ がある等式（問題文には等式が示されていないため、ここでは $|z|=1$と仮定します）を満たすとき、$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値と最小値を求め、そのときの $z$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ がある等式（問題文には等式が示されていないため、ここでは $|z|=1$と仮定します）を満たすとき、$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値と最小値を求め、そのときの $z$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + yi$ とおきます。ここで、$x$ と $y$ は実数です。

$|z| = 1$ より、$x^2 + y^2 = 1$ となります。

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{1} = x - yi$ となります。

したがって、$z + \frac{1}{z} + 2i = (x + yi) + (x - yi) + 2i = 2x + 2i$ となります。

$|z + \frac{1}{z} + 2i| = |2x + 2i| = \sqrt{(2x)^2 + (2)^2} = \sqrt{4x^2 + 4} = 2\sqrt{x^2 + 1}$ となります。

$x^2 + y^2 = 1$ より、$-1 \leq x \leq 1$ です。

したがって、$x^2$ の範囲は $0 \leq x^2 \leq 1$ となります。

$x^2 + 1$ の範囲は $1 \leq x^2 + 1 \leq 2$ となります。

$2\sqrt{x^2 + 1}$ の範囲は $2\sqrt{1} \leq 2\sqrt{x^2 + 1} \leq 2\sqrt{2}$ となります。

よって、$2 \leq |z + \frac{1}{z} + 2i| \leq 2\sqrt{2}$ となります。

最大値をとるとき、$x^2 = 1$ なので、$x = \pm 1$ です。

$x = 1$ のとき、$y = 0$ なので、$z = 1$

$x = -1$ のとき、$y = 0$ なので、$z = -1$

最小値をとるとき、$x^2 = 0$ なので、$x = 0$ です。

$y = \pm 1$ なので、$z = \pm i$

3. 最終的な答え

$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値は $2\sqrt{2}$ であり、このとき $z = 1$ または $z = -1$ です。

$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最小値は $2$ であり、このとき $z = i$ または $z = -i$ です。