与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -12 & 6 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、線形変換 $T(\vec{x}) = A\vec{x}$ の核 (kernel) と像 (image) の基底を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -12 & 6 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、線形変換 $T(\vec{x}) = A\vec{x}$ の核 (kernel) と像 (image) の基底を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、核の基底を求めます。核は、$A\vec{x} = \vec{0}$ を満たすベクトル $\vec{x}$ の集合です。

$\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、$A\vec{x} = \begin{bmatrix} -12 & 6 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ となります。

この連立一次方程式は以下のようになります。

$-12x_1 + 6x_2 = 0$

$-4x_1 + 2x_2 = 0$

これらの式は同じ関係 $2x_1 = x_2$ を表しています。したがって、$x_1 = t$ とすると、$x_2 = 2t$ となり、$\vec{x} = \begin{bmatrix} t \\ 2t \end{bmatrix} = t\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ となります。

よって、核の基底は $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ です。

次に、像の基底を求めます。像は、$A$ の列ベクトルの線形結合によって生成される空間です。

$A$ の列ベクトルは $\begin{bmatrix} -12 \\ -4 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}$ です。

これらの列ベクトルは線形従属であり、$\begin{bmatrix} -12 \\ -4 \end{bmatrix} = -2 \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}$ です。

したがって、像は1次元の空間であり、$\begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}$ または $\begin{bmatrix} -12 \\ -4 \end{bmatrix}$ で張られます。

簡単にするために、$\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$を基底として選ぶことができます。例えば$1/2\begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

核の基底：

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

像の基底：

$\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$