与えられた行列 $A$ の像（Image）の基底を求める問題です。ここで、像とは線形変換 $T(x) = Ax$ によって得られるベクトルの集合のことです。 $A = \begin{bmatrix} -1 & -8 & 9 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -9 \\ -3 & -6 & 9 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の像（Image）の基底を求める問題です。ここで、像とは線形変換 $T(x) = Ax$ によって得られるベクトルの集合のことです。

$A = \begin{bmatrix} -1 & -8 & 9 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -9 \\ -3 & -6 & 9 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ の像の基底を求めるには、以下の手順で行います。

1. 行列 $A$ を行簡約化（階段行列）に変形します。

2. 行簡約化された行列において、ピボット（leading entry）のある列を探します。

3. 行列 $A$ の、ピボット列に対応する列ベクトルが、像の基底となります。

まず、行列 $A$ を行簡約化します。

$A = \begin{bmatrix} -1 & -8 & 9 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -9 \\ -3 & -6 & 9 \end{bmatrix}$

1行目を $-1$ 倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 8 & -9 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -9 \\ -3 & -6 & 9 \end{bmatrix}$

2行目に 1行目の 2倍を加えます。3行目から 1行目の 3倍を引きます。4行目に 1行目の 3倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 8 & -9 \\ 0 & 18 & -18 \\ 0 & -18 & 18 \\ 0 & 18 & -18 \end{bmatrix}$

2行目を 18 で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 8 & -9 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -18 & 18 \\ 0 & 18 & -18 \end{bmatrix}$

3行目に 2行目の 18倍を加えます。4行目から2行目の 18倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 8 & -9 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から 2行目の 8倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

この行簡約化された行列において、1列目と2列目にピボットがあります。

したがって、行列 $A$ の1列目と2列目のベクトルが像の基底となります。

3. 最終的な答え

像の基底は次の2つのベクトルです。

$\begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -8 \\ 2 \\ 6 \\ -6 \end{bmatrix}$