与えられた数列の総和を求めます。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の総和を求めます。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(k-1)(k+2)$ を展開します。

$(k-1)(k+2) = k^2 + 2k - k - 2 = k^2 + k - 2$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2)$ を計算します。$\sum$ の性質より、各項に分解できます。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

これらを代入して、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n$

共通因数 $n$ でくくると、

$n \left( \frac{(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n+1}{2} - 2 \right)$

括弧の中を通分して整理すると、

$n \left( \frac{(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 12}{6} \right) = n \left( \frac{2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 - 12}{6} \right) = n \left( \frac{2n^2 + 6n - 8}{6} \right)$

$= n \left( \frac{n^2 + 3n - 4}{3} \right) = \frac{n(n^2 + 3n - 4)}{3}$

さらに、$n^2 + 3n - 4$ を因数分解すると、

$n^2 + 3n - 4 = (n+4)(n-1)$

したがって、

$\frac{n(n^2 + 3n - 4)}{3} = \frac{n(n+4)(n-1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n+4)}{3}$