自然数 $n$ について、「$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である」という命題を、対偶を用いて証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ について、「$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である」という命題を、対偶を用いて証明する。

2. 解き方の手順

対偶を考える。元の命題「$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である」の対偶は、「$n$ が 3 の倍数でないならば、$n^2$ は 3 の倍数でない」となる。この対偶を証明する。

$n$ が 3 の倍数でないとき、$n$ はある整数 $k$ を用いて、$n = 3k + 1$ または $n = 3k + 2$ と表せる。

(i) $n = 3k + 1$ のとき、

$n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

$3k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は 3 で割ると 1 余る。よって、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

(ii) $n = 3k + 2$ のとき、

$n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

$3k^2 + 4k + 1$ は整数なので、$n^2$ は 3 で割ると 1 余る。よって、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

したがって、$n$ が 3 の倍数でないならば、$n^2$ は 3 の倍数でない。これは対偶が真であることを示している。対偶が真なので、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

自然数 $n$ について、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である。 (証明終わり)