複素数の計算問題が2つあります。 (1) $\frac{2-i}{1+3i} - \frac{i+3}{-1+2i}$ を計算する。 (2) $\frac{1-i^5}{1+i^5} + \frac{1-i^3}{1+i^3}$ を計算する。

1. 問題の内容

複素数の計算問題が2つあります。

(1) $\frac{2-i}{1+3i} - \frac{i+3}{-1+2i}$ を計算する。

(2) $\frac{1-i^5}{1+i^5} + \frac{1-i^3}{1+i^3}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{2-i}{1+3i} = \frac{(2-i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{2 - 6i - i + 3i^2}{1 - 9i^2} = \frac{2 - 7i - 3}{1 + 9} = \frac{-1 - 7i}{10}$

$\frac{i+3}{-1+2i} = \frac{(3+i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)} = \frac{-3 - 6i - i - 2i^2}{1 - 4i^2} = \frac{-3 - 7i + 2}{1 + 4} = \frac{-1 - 7i}{5}$

したがって、

$\frac{2-i}{1+3i} - \frac{i+3}{-1+2i} = \frac{-1 - 7i}{10} - \frac{-1 - 7i}{5} = \frac{-1 - 7i}{10} - \frac{2(-1 - 7i)}{10} = \frac{-1 - 7i + 2 + 14i}{10} = \frac{1 + 7i}{10}$

(2)

$i^2 = -1$ であることを利用して、

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1$

$i^5 = i^4 \cdot i = i$

よって、

$\frac{1-i^5}{1+i^5} = \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i$

$\frac{1-i^3}{1+i^3} = \frac{1-(-i)}{1+(-i)} = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$

したがって、

$\frac{1-i^5}{1+i^5} + \frac{1-i^3}{1+i^3} = -i + i = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1+7i}{10}$

(2) $0$