## 問題53の解答

## 問題53の解答

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1. 問題の内容

以下の5つの問題に答えます。

(1) $y$ は $x$ の2乗に比例し、$x = -3$ のとき $y = 3$ である。$y$ を $x$ の式で表す。

(2) 関数 $y = 2x^2$ で、$x$ の値が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を求める。

(3) 関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ で、$x$ の変域が $-2 \le x \le 5$ のときの $y$ の変域を求める。

(4) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の値が -4 から -2 まで増加するときの変化の割合は 3 である。$a$ の値を求める。

(5) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 6$ である。$a$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

(1) $y$ は $x$ の2乗に比例するので、$y = ax^2$ と表せる。$x = -3$ のとき $y = 3$ を代入すると、

$3 = a(-3)^2$

$3 = 9a$

$a = \frac{1}{3}$

よって、$y = \frac{1}{3}x^2$

(2) 変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められる。$x$ が 1 から 3 まで増加するとき、$y$ の値は、$x=1$ のとき $y = 2(1)^2 = 2$、$x=3$ のとき $y = 2(3)^2 = 18$ である。

変化の割合 = $\frac{18 - 2}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8$

(3) 関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ は上に開いた放物線である。$x$ の変域 $-2 \le x \le 5$ を考える。

$x=0$ のとき、$y=0$ である。

$x=-2$ のとき、$y = -\frac{1}{4}(-2)^2 = -1$

$x=5$ のとき、$y = -\frac{1}{4}(5)^2 = -\frac{25}{4} = -6.25$

よって、$y$ の変域は $-\frac{25}{4} \le y \le 0$

(4) $x$ が -4 から -2 まで増加するときの変化の割合が 3 なので、$\frac{a(-2)^2 - a(-4)^2}{-2 - (-4)} = 3$

$\frac{4a - 16a}{2} = 3$

$\frac{-12a}{2} = 3$

$-6a = 3$

$a = -\frac{1}{2}$

(5) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 6$ である。

$y$ の変域に 0 が含まれているので、放物線の頂点が含まれている。

$x=3$ のとき、$y=6$なので、$6 = a(3)^2 = 9a$ より、$a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$x = -1$ のとき、$y = \frac{2}{3}(-1)^2 = \frac{2}{3}$ なので、$0 \le y \le 6$ を満たす。

したがって、$a = \frac{2}{3}$

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3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{3}x^2$

(2) 8

(3) $-\frac{25}{4} \le y \le 0$

(4) $a = -\frac{1}{2}$

(5) $a = \frac{2}{3}$