以下の5つの文が正しいかどうかを判定し、正しい場合は〇、誤りを含む場合は×と答える。 (1) $(\log(5x))' = \frac{1}{x}$ が成り立つ。 (2) 曲線 $c(t) = \begin{bmatrix} 3t-2 \\ t^2+1 \end{bmatrix}$ の $t=1$ における速度ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ である。 (3) ベクトル $a, b \in \mathbb{R}^3$ に対して $b \times a = a \times b$ が成り立つ。 (4) 極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4+y^2}$ は収束しない。 (5) $C^\infty$ 級関数 $f$ が $f(x,y) = 1+2x+3y+4x^2+5xy+6y^2+o(x^2+y^2)$ $((x, y) \to (0,0))$ を満たすとき、$f_{xx}(0,0) = 4$ である。

1. 問題の内容

以下の5つの文が正しいかどうかを判定し、正しい場合は〇、誤りを含む場合は×と答える。

(1) $(\log(5x))' = \frac{1}{x}$ が成り立つ。

(2) 曲線 $c(t) = \begin{bmatrix} 3t-2 \\ t^2+1 \end{bmatrix}$ の $t=1$ における速度ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ である。

(3) ベクトル $a, b \in \mathbb{R}^3$ に対して $b \times a = a \times b$ が成り立つ。

(4) 極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4+y^2}$ は収束しない。

(5) $C^\infty$ 級関数 $f$ が $f(x,y) = 1+2x+3y+4x^2+5xy+6y^2+o(x^2+y^2)$ $((x, y) \to (0,0))$ を満たすとき、$f_{xx}(0,0) = 4$ である。

2. 解き方の手順

(1) $(\log(5x))' = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x}$ より、正しい。

(2) 速度ベクトルは $c'(t)$ である。

$c'(t) = \begin{bmatrix} 3 \\ 2t \end{bmatrix}$

$c'(1) = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

よって、誤り。

(3) $b \times a = - (a \times b)$ であるから、$b \times a = a \times b$ が成り立つのは $a \times b = 0$ のときのみ。一般には成り立たないので、誤り。

(4) $y = x^2$ に沿って $(x,y) \to (0,0)$ とすると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot x^2}{x^4 + (x^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2}$

$y = 0$ に沿って $(x,y) \to (0,0)$ とすると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot 0}{x^4 + 0^2} = 0$

極限値が異なるので、極限は存在しない。よって、正しい。

(5) $f(x,y) = 1+2x+3y+4x^2+5xy+6y^2+o(x^2+y^2)$

$f_x(x,y) = 2 + 8x + 5y + o(x,y)$

$f_{xx}(x,y) = 8 + o(1)$

$f_{xx}(0,0) = 8$

よって、誤り。

3. 最終的な答え

(1) 〇

(2) ×

(3) ×

(4) 〇

(5) ×