関数 $y = (x^3+2x)(x^2+x+2)(3x+1)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3+2x)(x^2+x+2)(3x+1)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を用いる。

$y = uvw$ のとき、$y' = u'vw + uv'w + uvw'$ である。

ここで、$u = x^3+2x$, $v = x^2+x+2$, $w = 3x+1$ とおく。

それぞれの導関数は、

$u' = 3x^2+2$

$v' = 2x+1$

$w' = 3$

したがって、

$y' = (3x^2+2)(x^2+x+2)(3x+1) + (x^3+2x)(2x+1)(3x+1) + (x^3+2x)(x^2+x+2)(3)$

これを展開して整理する。

まず、

$(3x^2+2)(x^2+x+2)(3x+1) = (3x^4+3x^3+6x^2+2x^2+2x+4)(3x+1) = (3x^4+3x^3+8x^2+2x+4)(3x+1) = 9x^5+3x^4+9x^4+3x^3+24x^3+8x^2+6x^2+2x+12x+4 = 9x^5+12x^4+27x^3+14x^2+14x+4$

次に、

$(x^3+2x)(2x+1)(3x+1) = (x^3+2x)(6x^2+2x+3x+1) = (x^3+2x)(6x^2+5x+1) = 6x^5+5x^4+x^3+12x^3+10x^2+2x = 6x^5+5x^4+13x^3+10x^2+2x$

最後に、

$3(x^3+2x)(x^2+x+2) = 3(x^5+x^4+2x^3+2x^3+2x^2+4x) = 3(x^5+x^4+4x^3+2x^2+4x) = 3x^5+3x^4+12x^3+6x^2+12x$

したがって、

$y' = (9x^5+12x^4+27x^3+14x^2+14x+4) + (6x^5+5x^4+13x^3+10x^2+2x) + (3x^5+3x^4+12x^3+6x^2+12x) = (9+6+3)x^5+(12+5+3)x^4+(27+13+12)x^3+(14+10+6)x^2+(14+2+12)x+4 = 18x^5+20x^4+52x^3+30x^2+28x+4$

3. 最終的な答え

$y' = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 30x^2 + 28x + 4$