関数 $y = (x-2)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-2)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x-2$, $v = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5$ とおく。

$u' = \frac{d}{dx}(x-2) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) = 4x^3 + 6x^2 + 6x + 4$

したがって、

$y' = u'v + uv' = (1)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) + (x-2)(4x^3 + 6x^2 + 6x + 4)$

$= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5 + 4x^4 + 6x^3 + 6x^2 + 4x - 8x^3 - 12x^2 - 12x - 8$

$= (x^4 + 4x^4) + (2x^3 + 6x^3 - 8x^3) + (3x^2 + 6x^2 - 12x^2) + (4x + 4x - 12x) + (5 - 8)$

$= 5x^4 + 0x^3 - 3x^2 - 4x - 3$

3. 最終的な答え

$y' = 5x^4 - 3x^2 - 4x - 3$