与えられた関数 $y = \frac{\sin x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\sin x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ となります。

ここで、$u = \sin x$ 、$v = \sqrt{1 + \cos^2 x}$ とおきます。

まず、$u$ の導関数 $u'$ を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

次に、$v$ の導関数 $v'$ を計算します。

$v = (1 + \cos^2 x)^{\frac{1}{2}}$ なので、連鎖律(chain rule)を使用します。

$v' = \frac{1}{2}(1 + \cos^2 x)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \cos^2 x)$

$= \frac{1}{2\sqrt{1+\cos^2 x}} \cdot (0 + 2\cos x \cdot (-\sin x))$

$= \frac{-2\sin x \cos x}{2\sqrt{1+\cos^2 x}}$

$= \frac{-\sin x \cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}$

したがって、

$y' = \frac{\cos x \cdot \sqrt{1+\cos^2 x} - \sin x \cdot \frac{-\sin x \cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}}{(\sqrt{1+\cos^2 x})^2}$

$= \frac{\cos x (1+\cos^2 x) + \sin^2 x \cos x}{(1+\cos^2 x)\sqrt{1+\cos^2 x}}$

$= \frac{\cos x + \cos^3 x + \sin^2 x \cos x}{(1+\cos^2 x)\sqrt{1+\cos^2 x}}$

$= \frac{\cos x + \cos x (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(1+\cos^2 x)\sqrt{1+\cos^2 x}}$

$= \frac{\cos x + \cos x}{(1+\cos^2 x)\sqrt{1+\cos^2 x}}$

$= \frac{2\cos x}{(1+\cos^2 x)\sqrt{1+\cos^2 x}}$

$= \frac{2\cos x}{(1+\cos^2 x)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2\cos x}{(1+\cos^2 x)\sqrt{1+\cos^2 x}} = \frac{2\cos x}{(1+\cos^2 x)^{\frac{3}{2}}}$