与えられた問題は、定積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、定積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、複素積分を利用します。

まず、$f(z) = \frac{1}{1+z^3}$ と定義します。

$1+z^3 = 0$ を解くと、$z^3 = -1 = e^{i(\pi + 2k\pi)}$ となり、$z = e^{i(\pi/3 + 2k\pi/3)}$ ($k=0,1,2$) が得られます。

つまり、$z_0 = e^{i\pi/3}$, $z_1 = e^{i\pi} = -1$, $z_2 = e^{i5\pi/3}$ が $f(z)$ の極です。

積分路として、半径$R$の扇形、$C_R = \{ Re^{i\theta} | 0 \leq \theta \leq 2\pi/3 \}$ を考えます。

この扇形は、実軸上の区間 $[0, R]$、円弧$C_R$、そして直線 $z = re^{i2\pi/3}$ ($0 \leq r \leq R$) で囲まれています。

$R \to \infty$ のとき、$C_R$上の積分は 0 に収束します。

この扇形に含まれる極は、$z_0 = e^{i\pi/3}$ のみです。

留数定理より、

$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \operatorname{Res}(f, e^{i\pi/3})$

$\operatorname{Res}(f, e^{i\pi/3}) = \lim_{z \to e^{i\pi/3}} (z-e^{i\pi/3}) \frac{1}{1+z^3} = \lim_{z \to e^{i\pi/3}} \frac{1}{3z^2} = \frac{1}{3e^{i2\pi/3}} = \frac{e^{-i2\pi/3}}{3}$

したがって、$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \frac{e^{-i2\pi/3}}{3} = \frac{2\pi i}{3} (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2\pi}{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})$

$\int_0^R \frac{dx}{1+x^3} + \int_{C_R} \frac{dz}{1+z^3} + \int_R^0 \frac{e^{i2\pi/3} dr}{1+(re^{i2\pi/3})^3} = \frac{\pi}{3}(\sqrt{3} - i)$

$\int_0^R \frac{dx}{1+x^3} + \int_{C_R} \frac{dz}{1+z^3} + e^{i2\pi/3} \int_R^0 \frac{dr}{1+r^3} = \frac{\pi}{3}(\sqrt{3} - i)$

$R \to \infty$ のとき、$\int_{C_R} \frac{dz}{1+z^3} \to 0$ なので、

$(1 - e^{i2\pi/3}) \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^3} = \frac{\pi}{3}(\sqrt{3}-i)$

$(1 + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^3} = \frac{\pi}{3}(\sqrt{3}-i)$

$(\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^3} = \frac{\pi}{3}(\sqrt{3}-i)$

$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^3} = \frac{\pi}{3} \frac{\sqrt{3}-i}{\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\pi}{3} \frac{\sqrt{3}-i}{3-i\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3} \frac{(\sqrt{3}-i)(3+i\sqrt{3})}{(3-i\sqrt{3})(3+i\sqrt{3})} = \frac{2\pi}{3} \frac{3\sqrt{3} + 3i - 3i + \sqrt{3}}{9+3} = \frac{2\pi}{3} \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{2\pi}{3} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}$