与えられた定積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2)$であるから、

$\frac{1}{1+x^3} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{1-x+x^2}$

とおくと、

$1 = A(1-x+x^2) + (Bx+C)(1+x)$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較して

$A+B=0$, $-A+B+C=0$, $A+C=1$

これを解くと、$A = \frac{1}{3}$, $B = -\frac{1}{3}$, $C = \frac{2}{3}$となる。

したがって、

$\frac{1}{1+x^3} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+x} + \frac{-x+2}{1-x+x^2}\right)$

$=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+x} - \frac{x-2}{x^2-x+1}\right)$

$=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+x} - \frac{x-\frac{1}{2}}{x^2-x+1} + \frac{\frac{3}{2}}{x^2-x+1}\right)$

$=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}\frac{2x-1}{x^2-x+1} + \frac{3}{2}\frac{1}{x^2-x+1}\right)$

$=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}\frac{(x^2-x+1)'}{x^2-x+1} + \frac{3}{2}\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}\right)$

よって、

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}\frac{(x^2-x+1)'}{x^2-x+1} + \frac{3}{2}\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}\right)dx$

$=\frac{1}{3}\left[\ln(1+x) - \frac{1}{2}\ln(x^2-x+1) + \frac{3}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\right]_0^{\infty}$

$=\frac{1}{3}\left[\ln\left(\frac{1+x}{\sqrt{x^2-x+1}}\right) + \sqrt{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right]_0^{\infty}$

$=\frac{1}{3}\left[\ln\left(\frac{1+x}{\sqrt{x^2-x+1}}\right)\right]_0^{\infty} + \frac{\sqrt{3}}{3}\left[\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right]_0^{\infty}$

$=\frac{1}{3}(\ln(1)-\ln(1)) + \frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{3\pi+\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}$

$=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$