問題12.1は不定積分の計算問題です。 (1) $y = \sqrt[3]{x}$ の不定積分を求めます。 (2) $y = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x}$ の不定積分を求めます。 問題12.2は定積分の計算問題です。 (1) $I = \int_1^3 (\sqrt{x} - 1) \, dx$ を計算します。 (2) $I = \int_1^2 (\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{x^2}) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

問題12.1は不定積分の計算問題です。

(1) $y = \sqrt[3]{x}$ の不定積分を求めます。

(2) $y = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x}$ の不定積分を求めます。

問題12.2は定積分の計算問題です。

(1) $I = \int_1^3 (\sqrt{x} - 1) \, dx$ を計算します。

(2) $I = \int_1^2 (\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{x^2}) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

問題12.1

(1) $y = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ なので、不定積分は

$\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

(2) $y = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x} = x^{-3} + x^{\frac{1}{2}}$ なので、不定積分は

$\int (x^{-3} + x^{\frac{1}{2}}) dx = \int x^{-3} dx + \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{2x^2} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

問題12.2

(1) $I = \int_1^3 (\sqrt{x} - 1) \, dx = \int_1^3 (x^{\frac{1}{2}} - 1) \, dx$

$= [\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - x]_1^3 = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x]_1^3 = (\frac{2}{3}3^{\frac{3}{2}} - 3) - (\frac{2}{3}1^{\frac{3}{2}} - 1) = (\frac{2}{3}3\sqrt{3} - 3) - (\frac{2}{3} - 1) = 2\sqrt{3} - 3 - \frac{2}{3} + 1 = 2\sqrt{3} - 2 - \frac{2}{3} = 2\sqrt{3} - \frac{8}{3}$

(2) $I = \int_1^2 (\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{x^2}) \, dx = \int_1^2 (x^{\frac{2}{3}} - x^{-2}) \, dx$

$= [\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} - \frac{x^{-1}}{-1}]_1^2 = [\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{1}{x}]_1^2 = (\frac{3}{5}2^{\frac{5}{3}} + \frac{1}{2}) - (\frac{3}{5}1^{\frac{5}{3}} + 1) = \frac{3}{5}2^{\frac{5}{3}} + \frac{1}{2} - \frac{3}{5} - 1 = \frac{3}{5}2^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{3}{5}2^{\frac{5}{3}} - \frac{11}{10}$

3. 最終的な答え

問題12.1

(1) $\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$

(2) $-\frac{1}{2x^2} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

問題12.2

(1) $2\sqrt{3} - \frac{8}{3}$

(2) $\frac{3}{5}2^{\frac{5}{3}} - \frac{11}{10}$