一辺の長さが8cmの正三角形ABCがある。点Dは辺BCの中点であり、BE=6cmである。 (i) 線分ADの長さを求める。 (ii) 線分AEの長さを求める。 (iii) 点Bから線分AEに垂線をひき、交点をHとする。線分BHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが8cmの正三角形ABCがある。点Dは辺BCの中点であり、BE=6cmである。

(i) 線分ADの長さを求める。

(ii) 線分AEの長さを求める。

(iii) 点Bから線分AEに垂線をひき、交点をHとする。線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(i) 線分ADの長さを求める。

ADは正三角形ABCの中線であるため、三角形ABDは直角三角形である。

$AB = 8$

$BD = BC/2 = 8/2 = 4$

三平方の定理より、

$AD^2 + BD^2 = AB^2$

$AD^2 + 4^2 = 8^2$

$AD^2 + 16 = 64$

$AD^2 = 48$

$AD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

(ii) 線分AEの長さを求める。

三角形ABEにおいて、余弦定理を用いる。

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot \cos{60^\circ}$

$AE^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$AE^2 = 64 + 36 - 48$

$AE^2 = 52$

$AE = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

(iii) 線分BHの長さを求める。

三角形ABEの面積を2通りの方法で求める。

1. 底辺をAE、高さをBHとする。

面積 = $\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} \cdot BH = \sqrt{13} \cdot BH$

2. 底辺をAB、高さをEからABへの垂線とする。

EからABへの垂線の長さを求める。三角形ABEの面積は、三角形ABCの面積から三角形ACEの面積を引いたものとしても計算できる。しかし、ここは直接三角形ABEの面積を求める方法で進める。

三角形ABEの面積は、ヘロンの公式を用いると計算できる。

$s = \frac{8+6+2\sqrt{13}}{2} = 7+\sqrt{13}$

面積 = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(7+\sqrt{13})(7+\sqrt{13}-8)(7+\sqrt{13}-6)(7+\sqrt{13}-2\sqrt{13})} = \sqrt{(7+\sqrt{13})(-1+\sqrt{13})(1+\sqrt{13})(7-\sqrt{13})}$

= $\sqrt{(49-13)(13-1)} = \sqrt{36 \cdot 12} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$

$\sqrt{13} \cdot BH = 12\sqrt{3}$

$BH = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{39}}{13}$

3. 最終的な答え

(i) 線分ADの長さ: $4\sqrt{3}$ cm

(ii) 線分AEの長さ: $2\sqrt{13}$ cm

(iii) 線分BHの長さ: $\frac{12\sqrt{39}}{13}$ cm