以下の6つの問題を解きます。 (1) ネイピア数 $e$ を10進数で表し、小数第3位まで記述する。 (2) $e^{-3}$, $1$, $e^{1/2}$, $e^{-0.3}$ を小さい順に並べる。 (3) $\cos^{-1}(\cos(-\frac{\pi}{7}))$ の値を求める。 (4) 曲線 $2x^2 + 3y^2 = 18$ 上の点 $(\sqrt{3}, 2)$ における接線の方程式を求める。 (5) 関数 $\sin x$ の $n$ 階導関数を求める。 (6) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ を求める。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

以下の6つの問題を解きます。

(1) ネイピア数 $e$ を10進数で表し、小数第3位まで記述する。

(2) $e^{-3}$, $1$, $e^{1/2}$, $e^{-0.3}$ を小さい順に並べる。

(3) $\cos^{-1}(\cos(-\frac{\pi}{7}))$ の値を求める。

(4) 曲線 $2x^2 + 3y^2 = 18$ 上の点 $(\sqrt{3}, 2)$ における接線の方程式を求める。

(5) 関数 $\sin x$ の $n$ 階導関数を求める。

(6) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) ネイピア数 $e$ は約 2.71828... なので、小数第3位まで記述すると 2.718。

(2) $e \approx 2.718$ であることを利用します。

* $e^{-3} \approx (2.718)^{-3} \approx 0.05$

* $1 = 1$

* $e^{1/2} = \sqrt{e} \approx \sqrt{2.718} \approx 1.65$

* $e^{-0.3} \approx (2.718)^{-0.3} \approx 0.74$

したがって、$e^{-3} < e^{-0.3} < 1 < e^{1/2}$ となります。

(3) $\cos^{-1}(x)$ は $\arccos(x)$ とも書き、$x$ の逆余弦を表します。

$-\pi/7$ は $[0, \pi]$ の範囲に入らないので、

$\cos(-\frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{\pi}{7})$ を使います。

そして $\frac{\pi}{7}$ は $[0, \pi]$ の範囲に入るので、

$\cos^{-1}(\cos(-\frac{\pi}{7})) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$ となります。

(4) 曲線 $2x^2 + 3y^2 = 18$ を微分します。

$4x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{6y} = -\frac{2x}{3y}$

点 $(\sqrt{3}, 2)$ における傾きは

$\frac{dy}{dx}|_{(\sqrt{3}, 2)} = -\frac{2\sqrt{3}}{3 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

接線の方程式は

$y - 2 = -\frac{\sqrt{3}}{3} (x - \sqrt{3})$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1 + 2$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$

したがって、$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$ が接線の方程式です。

(5) $\sin x$ の導関数を繰り返し計算します。

* 1階導関数: $\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

* 2階導関数: $\frac{d^2}{dx^2} \sin x = -\sin x$

* 3階導関数: $\frac{d^3}{dx^3} \sin x = -\cos x$

* 4階導関数: $\frac{d^4}{dx^4} \sin x = \sin x$

したがって、$n$ 階導関数は、

$\frac{d^n}{dx^n} \sin x = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

(6) ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2.718

(2) $e^{-3}, e^{-0.3}, 1, e^{1/2}$

(3) $\frac{\pi}{7}$

(4) $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$

(5) $\sin(x + \frac{n\pi}{2})$

(6) $\frac{1}{2}$