三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $c = 1+\sqrt{3}$, $B = 45^\circ$ が与えられているとき、残りの辺の長さ $b$ と角 $A$, $C$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $c = 1+\sqrt{3}$, $B = 45^\circ$ が与えられているとき、残りの辺の長さ $b$ と角 $A$, $C$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺 $b$ の長さを求めます。余弦定理は

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

です。

与えられた値を代入すると、

$b^2 = (\sqrt{2})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{2})(1+\sqrt{3})\cos 45^\circ$

$b^2 = 2 + (1+2\sqrt{3}+3) - 2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2(1+\sqrt{3})$

$b^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$b^2 = 4$

したがって、$b = 2$ です。

次に、正弦定理を用いて角 $A$ を求めます。正弦定理は

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

です。

与えられた値を代入すると、

$\frac{\sqrt{2}}{\sin A} = \frac{2}{\sin 45^\circ}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin A} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin A} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin A} = 2\sqrt{2}$

$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

したがって、$A = 30^\circ$ または $A = 150^\circ$ です。

もし $A = 150^\circ$ なら、$A + B = 150^\circ + 45^\circ = 195^\circ > 180^\circ$ となり、三角形の内角の和が $180^\circ$ であることに矛盾するため、$A = 30^\circ$ です。

最後に、三角形の内角の和が $180^\circ$ であることを用いて、角 $C$ を求めます。

$A + B + C = 180^\circ$

$30^\circ + 45^\circ + C = 180^\circ$

$C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ$

$C = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$b = 2$, $A = 30^\circ$, $C = 105^\circ$