男子5人、女子3人の中から3人の委員を選ぶとき、以下の問いに答える。 (1) 全部で何通りの選び方があるか。 (2) 男子の委員2人、女子の委員1人を選ぶ選び方は何通りあるか。

## 問題66

1. 問題の内容

男子5人、女子3人の中から3人の委員を選ぶとき、以下の問いに答える。

(1) 全部で何通りの選び方があるか。

(2) 男子の委員2人、女子の委員1人を選ぶ選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体から3人を選ぶ問題なので、組み合わせを用いる。

全体は5+3=8人なので、8人から3人を選ぶ組み合わせを計算する。

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(2) 男子2人を選ぶ組み合わせと、女子1人を選ぶ組み合わせをそれぞれ計算し、それらを掛け合わせる。

男子5人から2人を選ぶ組み合わせは、

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

女子3人から1人を選ぶ組み合わせは、

$_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3}{1} = 3$

よって、求める場合の数は、$10 \times 3 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 56通り

(2) 30通り

## 問題67

1. 問題の内容

9人の生徒を以下の組に分ける方法は何通りあるか。

(1) 3人ずつA, B, Cの3組

(2) 3人ずつ3組

2. 解き方の手順

(1) まず9人からAの組の3人を選び、残りの6人からBの組の3人を選び、残りの3人からCの組の3人を選ぶ。

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6} = 84 \times 20 = 1680$

A,B,Cの区別があるので、これが答え。

(2) 3人ずつ3組に分けるとき、組に区別がないため、(1)の結果を3!で割る必要がある。

$\frac{_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3}}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

## 問題68

1. 問題の内容

方程式 $x+y+z=6$ を満たすx, y, zの解の組について、以下の問いに答える。

(1) 0以上の整数解の組の総数を求めよ。

(2) 正の整数解の組の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 0以上の整数解の組を求める問題は、重複組み合わせの問題として考えることができる。

$x+y+z=6$ において、$x, y, z \geq 0$ なので、6個の○を3つのグループに分けることを考える。これは、6個の○と2個の仕切りを並べる順列の数に等しい。

よって、求める場合の数は、$_{6+3-1}C_{3-1} = _{8}C_{2} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(2) 正の整数解の組を求める問題は、$x, y, z \geq 1$ なので、$x'=x-1$, $y'=y-1$, $z'=z-1$ とおくと、$x', y', z' \geq 0$ となる。

$x+y+z=6$ に代入すると、$(x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=6$

$x'+y'+z'=3$

この式を満たす0以上の整数解の組の数を求めればよい。

$_{3+3-1}C_{3-1} = _{5}C_{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

3. 最終的な答え

(1) 28組

(2) 10組