$a+b<0$ かつ $5a-5b<0$ のとき、$\sqrt{a^2+2ab+b^2} + \sqrt{25a^2-50ab+25b^2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a+b<0$ かつ $5a-5b<0$ のとき、$\sqrt{a^2+2ab+b^2} + \sqrt{25a^2-50ab+25b^2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件 $a+b<0$ と $5a-5b<0$ を整理します。$5a-5b<0$ は $5(a-b)<0$ と同値なので、$a-b<0$ となります。したがって、$a<b$ です。

次に、与えられた式の平方根の中身をそれぞれ因数分解します。

$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$

$25a^2-50ab+25b^2 = 25(a^2-2ab+b^2) = 25(a-b)^2 = (5(a-b))^2 = (5a-5b)^2$

したがって、与えられた式は

$\sqrt{(a+b)^2} + \sqrt{(5a-5b)^2} = |a+b| + |5a-5b|$

と書き換えられます。

条件より、$a+b<0$ であるから、$|a+b|=-(a+b)$ です。

また、$5a-5b<0$ であるから、$|5a-5b|=-(5a-5b)$ です。

したがって、与えられた式は

$-(a+b) - (5a-5b) = -a-b-5a+5b = -6a+4b$

となります。

3. 最終的な答え

$-6a+4b$