与えられたベクトル方程式で表される平面の法線ベクトルを求め、ベクトルを使わずに平面の方程式を表現する。ベクトル方程式は以下の通り。 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (s,t: 任意の実数)

## 解答

以下に、問題文に記載されている各問題に対する解答を記述します。

### (1)

1. 問題の内容

与えられたベクトル方程式で表される平面の法線ベクトルを求め、ベクトルを使わずに平面の方程式を表現する。ベクトル方程式は以下の通り。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (s,t: 任意の実数)

2. 解き方の手順

平面の法線ベクトルは、平面上の2つのベクトル(方向ベクトル)の外積によって求められる。ここでは、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が方向ベクトルとなる。

法線ベクトル$\vec{n}$は、

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) - (1)(2) \\ (1)(3) - (1)(1) \\ (1)(2) - (1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

平面の方程式は、法線ベクトルを$\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$、平面上の点を$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}$ とすると、$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$で表される。

ここでは、$\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$となるので、平面の方程式は、

$-1(x - 1) + 2(y - 2) - 1(z - 5) = 0$

$-x + 1 + 2y - 4 - z + 5 = 0$

$-x + 2y - z + 2 = 0$

$x - 2y + z - 2 = 0$

3. 最終的な答え

法線ベクトル: $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

平面の方程式: $x - 2y + z - 2 = 0$

### (2)

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ と $C = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ の積 $AC$ と $CA$ を求める。また、行列 $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ と $C$ の積 $CD$ 及び $DC$ を求める。

2. 解き方の手順

行列の積は、それぞれの要素の積の和で求められる。

行列Aと行列Cの積は以下の通り。

$AC = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*3 + 2*1 & 1*4 + 2*2 & 1*2 + 2*3 \\ 3*3 + 4*1 & 3*4 + 4*2 & 3*2 + 4*3 \\ 3*3 + 1*1 & 3*4 + 1*2 & 3*2 + 1*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 13 & 20 & 18 \\ 10 & 14 & 9 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ と $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$の積は以下の通り。

$CA = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3*1 + 4*3 + 2*3 & 3*2 + 4*4 + 2*1 \\ 1*1 + 2*3 + 3*3 & 1*2 + 2*4 + 3*1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 16 & 13 \end{pmatrix}$

行列 $C = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$と行列$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$の積は、$D = A$ なので$CD = CA = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 16 & 13 \end{pmatrix}$

行列 $C = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$と行列$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$の積は、$D = A$ なので$DC = AC = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 13 & 20 & 18 \\ 10 & 14 & 9 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$AC = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 13 & 20 & 18 \\ 10 & 14 & 9 \end{pmatrix}$

$CA = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 16 & 13 \end{pmatrix}$

$CD = \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ 16 & 13 \end{pmatrix}$

$DC = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 13 & 20 & 18 \\ 10 & 14 & 9 \end{pmatrix}$

### (3)

1. 問題の内容

行列 $E - X$ が正則ならば、$E + X + X^2 + ... + X^k = (E - X)^{-1}(E - X^{k+1}) = (X^{k+1} - E)(X - E)^{-1}$ が成り立つことを示す。ただし、$k$ は正の整数。

2. 解き方の手順

$(E - X)(E + X + X^2 + ... + X^k)$ を展開する。

$(E - X)(E + X + X^2 + ... + X^k) = E(E + X + X^2 + ... + X^k) - X(E + X + X^2 + ... + X^k)$

$= (E + X + X^2 + ... + X^k) - (X + X^2 + X^3 + ... + X^{k+1})$

$= E - X^{k+1}$

したがって、

$(E - X)(E + X + X^2 + ... + X^k) = E - X^{k+1}$

$E - X$ が正則であるから、両辺に $(E - X)^{-1}$ を左から掛けると、

$(E - X)^{-1}(E - X)(E + X + X^2 + ... + X^k) = (E - X)^{-1}(E - X^{k+1})$

$E + X + X^2 + ... + X^k = (E - X)^{-1}(E - X^{k+1})$

次に、$(E + X + X^2 + ... + X^k)(X - E)$ を展開する。

$(E + X + X^2 + ... + X^k)(X - E) = (E + X + X^2 + ... + X^k)X - (E + X + X^2 + ... + X^k)E$

$= (X + X^2 + X^3 + ... + X^{k+1}) - (E + X + X^2 + ... + X^k)$

$= X^{k+1} - E$

したがって、

$(E + X + X^2 + ... + X^k)(X - E) = X^{k+1} - E$

$X - E$ が正則であるから、両辺に $(X - E)^{-1}$ を右から掛けると、

$(E + X + X^2 + ... + X^k)(X - E)(X - E)^{-1} = (X^{k+1} - E)(X - E)^{-1}$

$E + X + X^2 + ... + X^k = (X^{k+1} - E)(X - E)^{-1}$

3. 最終的な答え

$E + X + X^2 + ... + X^k = (E - X)^{-1}(E - X^{k+1}) = (X^{k+1} - E)(X - E)^{-1}$

### (4)

1. 問題の内容

行列 $\begin{pmatrix} x+2 & x+1 \\ x^2 & x^2-1 \end{pmatrix}$ が正則であり、行列 $\begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix}$ が正則とならないような $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

最初の行列が正則である条件を求める。行列が正則であるのは、行列式が0でないときである。

$\det \begin{pmatrix} x+2 & x+1 \\ x^2 & x^2-1 \end{pmatrix} = (x+2)(x^2-1) - (x+1)x^2 = x^3 + 2x^2 - x - 2 - x^3 - x^2 = x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \neq 0$

したがって、$x \neq 2$ かつ $x \neq -1$ である。

次に、2番目の行列が正則とならない条件を求める。行列が正則とならないのは、行列式が0のときである。

$\det \begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix} = (2-x)((3-x)(-6-x) - (-4)(5)) - 4(3(-6-x) - (-4)(3)) + (-4)(3(5) - (3-x)(3))$

$= (2-x)(-18 - 3x + 6x + x^2 + 20) - 4(-18 - 3x + 12) - 4(15 - (9 - 3x))$

$= (2-x)(x^2 + 3x + 2) - 4(-6 - 3x) - 4(6 + 3x)$

$= 2x^2 + 6x + 4 - x^3 - 3x^2 - 2x + 24 + 12x - 24 - 12x$

$= -x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0$

$-x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0$

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

$x^2(x+1) - 4(x+1) = 0$

$(x^2 - 4)(x+1) = 0$

$(x-2)(x+2)(x+1) = 0$

したがって、$x = 2, -2, -1$ である。

最初の行列が正則でなければならないので、$x \neq 2$ かつ $x \neq -1$ である。

したがって、$x = -2$ である。

3. 最終的な答え

$x = -2$

### (5)

1. 問題の内容

行列 $\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$ の階数を求める。

2. 解き方の手順

行列の階数は、線形独立な行（または列）の最大数である。行列の行列式を計算し、それが0でない場合、階数は3である。行列式が0の場合、階数は3未満である。

$\det \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix} = a(a^2 - 0) - 1(0 - 1) + 0(0 - a) = a^3 + 1$

行列式が0となるのは、$a^3 + 1 = 0$ のとき、つまり $a^3 = -1$ のときである。実数解は $a = -1$ である。

* $a \neq -1$ の場合、行列式は0でないため、行列の階数は3である。

* $a = -1$ の場合、行列は $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ となる。この行列の階数は2である。なぜなら、3つの行を足すとゼロベクトルになるため、3つの行は線形独立ではないが、任意の2行は線形独立である。

3. 最終的な答え

$a \neq -1$ のとき、階数は3。

$a = -1$ のとき、階数は2。

### (6)

1. 問題の内容

連立方程式 $\begin{cases} x - 3y - z = a \\ -x + 4y - z = b \\ 2x - 9y + 4z = a - b \end{cases}$ の解を行列を用いて求めなさい。

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ -1 & 4 & -1 \\ 2 & -9 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ a - b \end{pmatrix}$

係数行列を $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ -1 & 4 & -1 \\ 2 & -9 & 4 \end{pmatrix}$、変数ベクトルを $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$、定数ベクトルを $B = \begin{pmatrix} a \\ b \\ a - b \end{pmatrix}$ とすると、$AX = B$ である。

この連立方程式を解くには、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求め、$X = A^{-1}B$ を計算すれば良い。

まず、$A$ の行列式を計算する。

$\det(A) = 1(4*4 - (-1)*(-9)) - (-3)((-1)*4 - (-1)*2) + (-1)((-1)*(-9) - 4*2) = 1(16 - 9) + 3(-4 + 2) - 1(9 - 8) = 7 - 6 - 1 = 0$

行列式が0であるため、$A$ は逆行列を持たない。したがって、この連立方程式は一意の解を持たないか、解が存在しない可能性がある。

連立方程式を解くために、拡大行列を作り、行基本変形を行う。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & a \\ -1 & 4 & -1 & b \\ 2 & -9 & 4 & a-b \end{pmatrix}$

2行目に1行目を足す。3行目から1行目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & a \\ 0 & 1 & -2 & a+b \\ 0 & -3 & 6 & -a-b \end{pmatrix}$

3行目に2行目の3倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & a \\ 0 & 1 & -2 & a+b \\ 0 & 0 & 0 & 2a+2b \end{pmatrix}$

最後の行が $0 = 2a + 2b$ であることから、$a + b = 0$ のとき解が存在する。$a + b = 0$ でない場合、解は存在しない。

$a + b = 0$ の場合、連立方程式は

$\begin{cases} x - 3y - z = a \\ y - 2z = a+b \end{cases}$

$\begin{cases} x - 3y - z = a \\ y - 2z = 0 \end{cases}$

$y = 2z$ を最初の式に代入する。

$x - 3(2z) - z = a$

$x - 6z - z = a$

$x - 7z = a$

$x = a + 7z$

したがって、解は $x = a + 7z, y = 2z, z = z$ (zは任意の実数)。

3. 最終的な答え

$a + b \neq 0$ のとき、解は存在しない。

$a + b = 0$ のとき、$x = a + 7z, y = 2z, z = z$ (zは任意の実数)。

### (7)

1. 問題の内容

$n$ 次正方行列 $A$ と $B$ の行列式をそれぞれ求めなさい。ここで、$x$ は実数である。

$A = \begin{pmatrix} 1 & x & x & \dots & x \\ x & 1 & x & \dots & x \\ x & x & 1 & \dots & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x & x & x & \dots & 1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

*行列 A*

$A$ の各行から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & x & x & \dots & x \\ x-1 & 1-x & 0 & \dots & 0 \\ x-1 & 0 & 1-x & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x-1 & 0 & 0 & \dots & 1-x \end{pmatrix}$

次に、2行目からn行目までのそれぞれの行の $(x-1)/(1-x) = -1$ 倍を1行目に足す。

$det(A) = (1+(n-1)x)(1-x)^{n-1}$

*行列 B*

$B$ は三重対角行列である。$D_n$ を $n \times n$ の行列 $B$ の行列式とすると、漸化式が得られる。

$D_1 = 2$

$D_2 = 2*2 - 1*1 = 3$

$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

この漸化式を解くと、$D_n = n+1$ となる。

3. 最終的な答え

$\det(A) = (1+(n-1)x)(1-x)^{n-1}$

$\det(B) = n+1$