行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、行列の積 $AC$, $CA$, $CD$, $DC$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、行列の積 $AC$, $CA$, $CD$, $DC$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

行列の積を計算する。行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列成分を $a_{ij}$ と表すと、行列の積の $i$ 行 $j$ 列成分は、対応する行と列の要素の積の和で求められる。

まず、$AC$ を計算する。

$A$ は $2 \times 2$ 行列、$C$ は $2 \times 3$ 行列なので、$AC$ は $2 \times 3$ 行列になる。

\begin{align*} AC &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1\cdot3+2\cdot1 & 1\cdot4+2\cdot2 & 1\cdot2+2\cdot3 \\ 3\cdot3+4\cdot1 & 3\cdot4+4\cdot2 & 3\cdot2+4\cdot3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3+2 & 4+4 & 2+6 \\ 9+4 & 12+8 & 6+12 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 13 & 20 & 18 \end{bmatrix} \end{align*}

次に、$CA$ を計算する。

$C$ は $2 \times 3$ 行列、$A$ は $2 \times 2$ 行列なので、$CA$ を計算できない。$C$の列数と$A$の行数が一致しないため。

次に、$CD$ を計算する。

$C$ は $2 \times 3$ 行列、$D$ は $3 \times 2$ 行列なので、$CD$ は $2 \times 2$ 行列になる。

\begin{align*} CD &= \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3\cdot1+4\cdot3+2\cdot3 & 3\cdot2+4\cdot4+2\cdot1 \\ 1\cdot1+2\cdot3+3\cdot3 & 1\cdot2+2\cdot4+3\cdot1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3+12+6 & 6+16+2 \\ 1+6+9 & 2+8+3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 21 & 24 \\ 16 & 13 \end{bmatrix} \end{align*}

最後に、$DC$ を計算する。

$D$ は $3 \times 2$ 行列、$C$ は $2 \times 3$ 行列なので、$DC$ は $3 \times 3$ 行列になる。

\begin{align*} DC &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1\cdot3+2\cdot1 & 1\cdot4+2\cdot2 & 1\cdot2+2\cdot3 \\ 3\cdot3+4\cdot1 & 3\cdot4+4\cdot2 & 3\cdot2+4\cdot3 \\ 3\cdot3+1\cdot1 & 3\cdot4+1\cdot2 & 3\cdot2+1\cdot3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3+2 & 4+4 & 2+6 \\ 9+4 & 12+8 & 6+12 \\ 9+1 & 12+2 & 6+3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 13 & 20 & 18 \\ 10 & 14 & 9 \end{bmatrix} \end{align*}

3. 最終的な答え

$AC = \begin{bmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 13 & 20 & 18 \end{bmatrix}$

$CA$ は計算できない。

$CD = \begin{bmatrix} 21 & 24 \\ 16 & 13 \end{bmatrix}$

$DC = \begin{bmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 13 & 20 & 18 \\ 10 & 14 & 9 \end{bmatrix}$