行列 $E-X$ が正則であるとき、以下の等式が成り立つことを示す問題です。ここで $E$ は単位行列、$X$ はある行列、$k$ は正の整数です。 $$E + X + X^2 + \dots + X^k = (E-X)^{-1}(E-X^{k+1}) = (X^{k+1} - E)(X-E)^{-1}$$

1. 問題の内容

行列 $E-X$ が正則であるとき、以下の等式が成り立つことを示す問題です。ここで $E$ は単位行列、$X$ はある行列、$k$ は正の整数です。

$$E + X + X^2 + \dots + X^k = (E-X)^{-1}(E-X^{k+1}) = (X^{k+1} - E)(X-E)^{-1}$$

2. 解き方の手順

まず、左辺と中央の式が等しいことを示します。

$$(E-X)(E + X + X^2 + \dots + X^k) = E + X + X^2 + \dots + X^k - (X + X^2 + X^3 + \dots + X^{k+1}) = E - X^{k+1}$$

したがって、

$$(E-X)(E + X + X^2 + \dots + X^k) = E - X^{k+1}$$

$E-X$ が正則なので、両辺に左から $(E-X)^{-1}$ をかけると、

$$(E-X)^{-1}(E-X)(E + X + X^2 + \dots + X^k) = (E-X)^{-1}(E - X^{k+1})$$

$$E + X + X^2 + \dots + X^k = (E-X)^{-1}(E - X^{k+1})$$

次に、左辺と右端の式が等しいことを示します。

$$(E + X + X^2 + \dots + X^k)(X-E) = (X + X^2 + \dots + X^{k+1}) - (E + X + X^2 + \dots + X^k) = X^{k+1} - E$$

したがって、

$$(E + X + X^2 + \dots + X^k)(X-E) = X^{k+1} - E$$

$X-E = -(E-X)$ が正則なので、両辺に右から $(X-E)^{-1}$ をかけると、

$$(E + X + X^2 + \dots + X^k)(X-E)(X-E)^{-1} = (X^{k+1} - E)(X-E)^{-1}$$

$$E + X + X^2 + \dots + X^k = (X^{k+1} - E)(X-E)^{-1}$$

以上より、

$$E + X + X^2 + \dots + X^k = (E-X)^{-1}(E - X^{k+1}) = (X^{k+1} - E)(X-E)^{-1}$$

3. 最終的な答え

$E + X + X^2 + \dots + X^k = (E-X)^{-1}(E - X^{k+1}) = (X^{k+1} - E)(X-E)^{-1}$