$a+b = \sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ かつ $a-b = \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ のとき、$a^2 + b^2$ と $ab$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a+b = \sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ かつ $a-b = \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ のとき、$a^2 + b^2$ と $ab$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ を求めます。

$a+b = \sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ と $a-b = \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ を足し合わせると、

$2a = \sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

$a = \frac{\sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{2}$

次に、$a+b = \sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ から $a-b = \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ を引くと、

$2b = \sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

$b = \frac{\sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{2}$

$a^2 + b^2$ を求めます。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ なので、$a^2 + b^2$を求めるにはまず$ab$を求める必要があります。

$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$ とすることもできます。

$ab$を求めます。

$ab = (\frac{\sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{2}) (\frac{\sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{2})$

$ab = \frac{(3\sqrt{3} - \sqrt{2}) - (3\sqrt{2} - \sqrt{3})}{4}$

$ab = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}$

$ab = \frac{4\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}{4}$

$ab = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

次に、$a^2 + b^2$ を求めます。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

$a^2 + b^2 = (\sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}})^2 - 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$a^2 + b^2 = 3\sqrt{3}-\sqrt{2} - 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$

$a^2 + b^2 = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a^2 + b^2 = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

$ab = \sqrt{3} - \sqrt{2}$