$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos\theta - \sin\theta = \frac{1}{2}$ とする。このとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値と、$\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos\theta - \sin\theta = \frac{1}{2}$ とする。このとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値と、$\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(3) $\sin\theta\cos\theta$ を求める。

$\cos\theta - \sin\theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗すると、

$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta = \frac{1}{4}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$

(4) $\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta}$ を求める。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であるから、

$\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta} = \tan^2\theta + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^4\theta + \cos^4\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta}$

$(\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 = \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^4\theta = 1$ より、

$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$

$\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta} - 2$

(3) より $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$ なので、 $\sin^2\theta\cos^2\theta = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$

$\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\frac{9}{64}} - 2 = \frac{64}{9} - 2 = \frac{64 - 18}{9} = \frac{46}{9}$

3. 最終的な答え

(3) $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$

(4) $\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{46}{9}$