$\int \log(x^2 + 4) \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \log(x^2 + 4) \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

まず、$u = \log(x^2 + 4)$、$dv = dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{2x}{x^2 + 4} dx$、$v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を使うと、

$$\int \log(x^2 + 4) \, dx = x \log(x^2 + 4) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx$$

$$= x \log(x^2 + 4) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 4} \, dx$$

となります。

次に、$\int \frac{2x^2}{x^2 + 4} \, dx$ を計算します。

被積分関数を変形すると、

$$\frac{2x^2}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4) - 8}{x^2 + 4} = 2 - \frac{8}{x^2 + 4}$$

したがって、

$$\int \frac{2x^2}{x^2 + 4} \, dx = \int \left(2 - \frac{8}{x^2 + 4}\right) \, dx = 2x - 8 \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx$$

ここで、$x = 2\tan\theta$ と置換すると、$dx = 2\sec^2\theta \, d\theta$ となり、

$$\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \int \frac{1}{4\tan^2\theta + 4} \cdot 2\sec^2\theta \, d\theta = \int \frac{2\sec^2\theta}{4\sec^2\theta} \, d\theta = \frac{1}{2} \int d\theta = \frac{1}{2} \theta + C$$

$x = 2\tan\theta$ より $\tan\theta = \frac{x}{2}$ なので、$\theta = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ です。

$$\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$

したがって、

$$\int \frac{2x^2}{x^2 + 4} \, dx = 2x - 8 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C = 2x - 4 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$

元の積分に戻ると、

$$\int \log(x^2 + 4) \, dx = x \log(x^2 + 4) - \left(2x - 4 \arctan\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C$$

$$= x \log(x^2 + 4) - 2x + 4 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$

3. 最終的な答え

$x \log(x^2 + 4) - 2x + 4 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$