次の3つの定積分を求める問題です。 (1) $\int_{1}^{2} \log x \, dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| \, dx$ (3) $\int_{1}^{e^2} \frac{\log x}{x(\log x + 1)^2} \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの定積分を求める問題です。

(1) $\int_{1}^{2} \log x \, dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| \, dx$

(3) $\int_{1}^{e^2} \frac{\log x}{x(\log x + 1)^2} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

よって、

$\int_{1}^{2} \log x \, dx = [x \log x - x]_{1}^{2} = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 - 0 + 1 = 2 \log 2 - 1$

(2) $\sin x - \frac{1}{2} = 0$ となる $x$ を求めます。$\sin x = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{6}$ です。

$0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ のとき $\sin x \le \frac{1}{2}$ なので、$\left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} - \sin x$ です。

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin x \ge \frac{1}{2}$ なので、$\left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = \sin x - \frac{1}{2}$ です。

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( \frac{1}{2} - \sin x \right) \, dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin x - \frac{1}{2} \right) \, dx$

$= \left[ \frac{1}{2} x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} + \left[ -\cos x - \frac{1}{2} x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - (0 + 1) + \left( 0 - \frac{\pi}{4} \right) - \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} \right)$

$= \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 - \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \sqrt{3} - 1 = - \frac{\pi}{12} + \sqrt{3} - 1$

(3) $u = \log x + 1$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$x = 1$ のとき $u = \log 1 + 1 = 0 + 1 = 1$ です。

$x = e^2$ のとき $u = \log e^2 + 1 = 2 + 1 = 3$ です。

また、$\log x = u - 1$ となります。

よって、

$\int_{1}^{e^2} \frac{\log x}{x(\log x + 1)^2} \, dx = \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{u^2} \, du = \int_{1}^{3} \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u^2} \right) \, du = \left[ \log u + \frac{1}{u} \right]_{1}^{3} = \left( \log 3 + \frac{1}{3} \right) - (\log 1 + 1) = \log 3 + \frac{1}{3} - 0 - 1 = \log 3 - \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $2 \log 2 - 1$

(2) $\sqrt{3} - 1 - \frac{\pi}{12}$

(3) $\log 3 - \frac{2}{3}$