与えられた数学の問題は、逆三角関数の値の計算、極限の計算、関数の導関数の計算、関数の接線の方程式と極値の計算、そして積分の計算から構成されています。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、逆三角関数の値の計算、極限の計算、関数の導関数の計算、関数の接線の方程式と極値の計算、そして積分の計算から構成されています。

2. 解き方の手順

まず、逆三角関数の値を求めます。次に、極限を計算します。ロピタルの定理や三角関数の極限の公式を用いる必要があるかもしれません。次に、与えられた関数の導関数を求めます。積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法などを適切に適用します。関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に対し、接線の方程式と極値を求めます。接線の方程式は、導関数を用いて求めます。極値は、導関数が0になる点を調べます。最後に、指定された積分を計算します。部分積分や置換積分を必要に応じて使用します。

問題2(1):

$\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$ を計算します。

分子を因数分解すると、$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$ となります。

よって、$\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$

問題2(3):

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$ を計算します。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ という公式を利用します。この場合、$a = -1$ なので、$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

問題2(4):

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$ を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ という公式を利用します。この場合、$a = 4$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = 4$

問題5(1):

$\int (2x+1) dx$ を計算します。

$\int (2x+1) dx = x^2 + x + C$

$= \frac{1}{2}(2x+1)^2/1 + C = x^2+x + C$

問題5(2):

$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int \frac{1}{2\sqrt{1-(x/2)^2}} dx = \arcsin (\frac{x}{2})+ C$

問題5(3):

$\int \cos^2 x dx$ を計算します。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

問題5(4):

$\int \arctan x dx$ を計算します。

部分積分を用います。$u = \arctan x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx, v = x$ となります。

$\int \arctan x dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

問題5(5):

$\int \frac{2x+1}{x^2-1} dx$ を計算します。

$\frac{2x+1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ と部分分数分解します。

$2x+1 = A(x+1) + B(x-1)$ となり、$x=1$ を代入すると、$3 = 2A$ より $A = \frac{3}{2}$、$x=-1$ を代入すると、$-1 = -2B$ より $B = \frac{1}{2}$

$\int \frac{2x+1}{x^2-1} dx = \int (\frac{3/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1}) dx = \frac{3}{2} \ln |x-1| + \frac{1}{2} \ln |x+1| + C$

3. 最終的な答え

問題2(1): 3

問題2(3): $\frac{1}{e}$

問題2(4): 4

問題5(1): $\frac{(2x+1)^2}{4} + C = x^2+x + C$

問題5(2): $\arcsin (\frac{x}{2})+ C$

問題5(3): $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

問題5(4): $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

問題5(5): $\frac{3}{2} \ln |x-1| + \frac{1}{2} \ln |x+1| + C$