この問題は、次の内容について解答を求めるものです。 1. 逆三角関数の値を求める問題

## 問題の解答

1. 問題の内容

この問題は、次の内容について解答を求めるものです。

1. 逆三角関数の値を求める問題

2. 極限値を求める問題

3. 関数の導関数を求める問題

4. 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について、接線の方程式と極値を求める問題

5. 積分を計算する問題

2. 解き方の手順

**(1) 逆三角関数の値を求める問題**

* (1) $sin^{-1}(\frac{1}{2})$: $sin(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。主値は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲にある。したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

* (2) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$: $cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。主値は $0 \le \theta \le \pi$ の範囲にある。したがって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$。

* (3) $tan^{-1}(\sqrt{3})$: $tan(\theta) = \sqrt{3}$ となる $\theta$ を求める。主値は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲にある。したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$。

**(2) 極限値を求める問題**

* (1) $lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$: 分子を因数分解すると $2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$。よって、

$lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$。

* (2) $lim_{x \to \infty} tan^{-1}x$: $x \to \infty$ のとき、$tan^{-1}x \to \frac{\pi}{2}$。

* (3) $lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$: これはネイピア数の定義の変形版であり、$lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$。したがって、$lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x = e^{-1} = \frac{1}{e}$。

* (4) $lim_{x \to 0} \frac{sin 4x}{x}$: $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ を利用する。$\frac{sin 4x}{x} = 4 \cdot \frac{sin 4x}{4x}$。したがって、$lim_{x \to 0} 4 \cdot \frac{sin 4x}{4x} = 4 \cdot 1 = 4$。

* (5) $lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1}x}{x}$: $y = sin^{-1}x$ とおくと、$x = sin y$ であり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$。よって、$lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1}x}{x} = lim_{y \to 0} \frac{y}{sin y} = lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{sin y}{y}} = \frac{1}{1} = 1$。

**(3) 関数の導関数を求める問題**

* (1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x} = 3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$。$y' = 6x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$。

* (2) $y = x cos^{-1}x - \sqrt{1 - x^2}$。$y' = cos^{-1}x + x \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) - \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = cos^{-1}x - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = cos^{-1}x$。

* (3) $y = \frac{log x}{x}$。$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - log x}{x^2}$。

* (4) $y = sin^3 2x = (sin 2x)^3$。$y' = 3(sin 2x)^2 \cdot cos 2x \cdot 2 = 6 sin^2 2x cos 2x$。

* (5) $y = x^x$。両辺の対数をとると、$log y = x log x$。両辺を $x$ で微分すると、$\frac{y'}{y} = log x + x \cdot \frac{1}{x} = log x + 1$。よって、$y' = y (log x + 1) = x^x (log x + 1)$。

**(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ について**

* (1) $f(x) = e^{-x^2}$、$f'(x) = -2x e^{-x^2}$。点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。$f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$、$f'(1) = -2 \cdot 1 \cdot e^{-1} = -\frac{2}{e}$。接線の方程式は、$y - \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}(x - 1)$、$y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$。

* (2) $f'(x) = -2x e^{-x^2} = 0$ となる $x$ を求める。$x = 0$。$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$、$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$。したがって、$x = 0$ で極大値をとる。$f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1$。

**(5) 積分を計算する問題**

* (1) $\int (2x + 1)^8 dx$: $u = 2x + 1$ とおくと、$du = 2 dx$。したがって、$dx = \frac{1}{2} du$。$\int u^8 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} u^9 + C = \frac{1}{18} (2x + 1)^9 + C$。

* (2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$: $x = 2 sin \theta$ とおくと、$dx = 2 cos \theta d\theta$。$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 sin^2 \theta}} \cdot 2 cos \theta d\theta = \int \frac{2 cos \theta}{2 \sqrt{1 - sin^2 \theta}} d\theta = \int \frac{cos \theta}{cos \theta} d\theta = \int d\theta = \theta + C = sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$。

* (3) $\int cos^2 x dx$: $cos 2x = 2 cos^2 x - 1$ より、$cos^2 x = \frac{1 + cos 2x}{2}$。$\int \frac{1 + cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} sin 2x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} sin 2x + C$。

* (4) $\int tan^{-1} x dx$: 部分積分法を用いる。$u = tan^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1 + x^2} dx$, $v = x$。$\int tan^{-1} x dx = x tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx$。$\int \frac{x}{1 + x^2} dx$ について、$w = 1 + x^2$ とおくと、$dw = 2x dx$。$\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{dw}{w} = \frac{1}{2} log |w| + C = \frac{1}{2} log (1 + x^2) + C$。したがって、$\int tan^{-1} x dx = x tan^{-1} x - \frac{1}{2} log (1 + x^2) + C$。

* (5) $\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx$: 部分分数分解を行う。$\frac{2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$。$2x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1)$。$x = 1$ のとき、$3 = 2A$, $A = \frac{3}{2}$。$x = -1$ のとき、$-1 = -2B$, $B = \frac{1}{2}$。$\int (\frac{3}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)}) dx = \frac{3}{2} log |x - 1| + \frac{1}{2} log |x + 1| + C = \frac{1}{2}(3 log |x - 1| + log |x + 1|) + C = \frac{1}{2}log(|x-1|^3|x+1|) + C$

3. 最終的な答え

**(1) 逆三角関数**

* (1) $\frac{\pi}{6}$

* (2) $\frac{2\pi}{3}$

* (3) $\frac{\pi}{3}$

**(2) 極限**

* (1) 3

* (2) $\frac{\pi}{2}$

* (3) $\frac{1}{e}$

* (4) 4

* (5) 1

**(3) 導関数**

* (1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

* (2) $cos^{-1}x$

* (3) $\frac{1 - log x}{x^2}$

* (4) $6 sin^2 2x cos 2x$

* (5) $x^x (log x + 1)$

**(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$**

* (1) $y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

* (2) 極大値 1 (x = 0)

**(5) 積分**

* (1) $\frac{1}{18} (2x + 1)^9 + C$

* (2) $sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

* (3) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} sin 2x + C$

* (4) $x tan^{-1} x - \frac{1}{2} log (1 + x^2) + C$

* (5) $\frac{1}{2}log(|x-1|^3|x+1|) + C$