与えられた問題は、広義積分 $\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx$ を、$\alpha > -1$ の条件下で計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、広義積分 $\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx$ を、$\alpha > -1$ の条件下で計算することです。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。$\alpha \neq -1$ のとき、

$$\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$$

次に、広義積分の定義に従い、上限を $b$ とおいて積分を計算し、$b \to \infty$ の極限を考えます。

$$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} x^{\alpha} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_{1}^{b}$$

$$= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{\alpha+1}}{\alpha+1} - \frac{1^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right) = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{\alpha+1}}{\alpha+1} - \frac{1}{\alpha+1} \right)$$

ここで、極限が存在するかどうかは $\alpha+1$ の符号によって決まります。

$\alpha > -1$ より、$\alpha + 1 > 0$ であるため、$b \to \infty$ のとき、$b^{\alpha+1} \to \infty$ となります。したがって、

$$\lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{\alpha+1}}{\alpha+1} - \frac{1}{\alpha+1} \right) = \infty$$

よって、積分は発散します。

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx = \infty$ (発散)