関数 $f(x) = (1+x) \log(1+x)$ の第 $n$ 次導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (1+x) \log(1+x)$ の第 $n$ 次導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の1次、2次、3次導関数を計算して、規則性を見つけます。

$f(x) = (1+x) \log(1+x)$

1次導関数 $f'(x)$ は、積の微分法より

$f'(x) = \log(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} = \log(1+x) + 1$

2次導関数 $f''(x)$ は

$f''(x) = \frac{1}{1+x}$

3次導関数 $f'''(x)$ は

$f'''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

4次導関数 $f^{(4)}(x)$ は

$f^{(4)}(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

5次導関数 $f^{(5)}(x)$ は

$f^{(5)}(x) = -\frac{2 \cdot 3}{(1+x)^4} = -\frac{3!}{(1+x)^4}$

一般に、$n \geq 2$ に対して、

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-2} (n-2)!}{(1+x)^{n-1}}$

となります。

したがって、

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-2} (n-2)!}{(1+x)^{n-1}}$ for $n \geq 2$.

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \begin{cases}

\log(1+x) + 1 & \text{if } n = 1 \\

\frac{(-1)^{n-2}(n-2)!}{(1+x)^{n-1}} & \text{if } n \geq 2

\end{cases}$