与えられた広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x(x+1)}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた広義積分

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x(x+1)}$

の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $x(x+1)$ をかけると、

$1 = A(x+1) + Bx$

$x = 0$ のとき、 $1 = A(0+1) + B(0)$ より $A = 1$.

$x = -1$ のとき、 $1 = A(-1+1) + B(-1)$ より $B = -1$.

よって、

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

次に、広義積分を計算します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x(x+1)} = \int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) dx$

$\int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) dx$

$= \lim_{t \to \infty} [\ln|x| - \ln|x+1|]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} [\ln|\frac{x}{x+1}|]_{1}^{t}$

$= \lim_{t \to \infty} (\ln(\frac{t}{t+1}) - \ln(\frac{1}{1+1}))$

$= \lim_{t \to \infty} (\ln(\frac{t}{t+1})) - \ln(\frac{1}{2})$

ここで、$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{t+1} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{t}} = 1$ なので、

$\lim_{t \to \infty} \ln(\frac{t}{t+1}) = \ln(1) = 0$.

したがって、

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x(x+1)} = 0 - \ln(\frac{1}{2}) = - \ln(\frac{1}{2}) = \ln(2)$.

3. 最終的な答え

$\ln 2$